高等数学 - 知识点总结

李璴
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这篇文章是我个人对高等数学知识点的总结归纳

希望它能对你有些帮助

不喜勿喷 欢迎各位批评指正

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这个大纲是我自己总结的，我并没有按照课本那样对知识点进行分类。

对于《高等数学》这门课，我自己的理解是 —— 它的主要内容是微积分(它是用来研究、分析变化事物的工具和方法，是一种描述事物变化、发展的语言)，从微积分的内容逐步拓展到微分方程、无穷级数和向量代数与空间解析几何。从研究连续的变量问题逐步到研究离散的变量问题。不过，重点还是在微积分。微积分就是用来研究连续变化的量。换句话说，高等数学的研究对象是变动的量，需要用到微积分这个有利的工具。

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  • 微分学：求导数的运算，是一套关于变化率的理论
  • 积分学：求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用方法
  • 不定积分：一种符号运算，一个表达式，而不是一个具体的数值，其运算结果是一组原函数的集合
  • 定积分：某种确定形式的和的极限，极限是一个具体的确定的数字
  • 求积分的计算方法：换元积分法、分部积分法、重积分、曲线积分和曲面积分等
  • 微积分中的典型问题
    • 运动中速度与距离的互求问题
    • 求曲线的切线问题
    • 求长度、面积、体积和重心问题
    • 求最大值和最小值问题

提醒：下面的内容有质量，但不多哈。相当于是我学习高数的笔记，对上面那个大纲的详细阐述，建议挑选自己感兴趣的内容阅读。

预备知识

函数

函数是一种特殊的映射，从一个非空集合到另一个非空集合的映射。 这个映射关系反映了函数变量之间的依赖关系。准确来说，它是一种因果关系。 如果非空集合是实数集，那它就是实变函数； 如果非空集合是复数集，那它就是复变函数； 依此类推。

关于函数，两个要点。一个是怎么定义函数，另一个是函数的性质有哪些。

怎么定义函数，侧面反映了你怎么看待集合之间的映射关系。 还有，怎么描述这种映射关系，一般用数学表达式或者是图像。 说到这，其实在我看来，数学就是一门语言。 当你明白了映射关系，那函数自然就可以被描述出来(写出来函数的表达式 或者 画出函数的图像)。

当然把函数描述出来只是第一步，更重要的是你需要逐步理解函数的性质 或者说 函数的特点。

对应的有两种题型：

  • 通过已知信息，描述函数(表达式 或 图像)
  • 熟悉函数的性质来解题，常用的像有界性、周期性、奇偶性与单调性

基本初等函数

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初等函数：由基本初等函数，经过有限次四则运算 或 复合且能用一个式子表达的函数。

极限

数列极限

  • 定义

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  • 收敛数列的性质

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函数的极限

  • 定义

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image.png 重点在于，极限的过程。

  • 性质

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证明数列或函数极限存在的方法

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无穷小量

  • 定义

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  • 定理

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  • 无穷小的比较

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无穷大量

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求数列或函数极限的方法

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连续与间断

连续

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间断点

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闭区间上连续函数的性质

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微分学

一元函数的微分学

导数与微分

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微分中值定理

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泰勒公式和麦克劳林公式

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洛必达法则

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导数在几何上的应用

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多元函数的微分学

二元函数的极限与连续性

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偏导数与全微分

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多元函数偏导数的应用

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积分学

不定积分

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定积分

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重积分

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第一类曲线积分

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第二类曲线积分

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第一类曲面积分

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第二类曲面积分

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微分方程

一阶微分方程

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可降阶的二阶微分方程

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线性微分方程

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无穷级数

数项级数

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幂级数

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傅里叶级数

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向量代数与空间解析几何

向量及其运算

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空间平面和直线

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空间曲面和曲线

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最后

为什么突然想把这些知识点进行总结并发布到网上呢？ 明白了一件事情吧——信息是具有时效性的。换句话说，信息也是有保质期的。 比如，上面总结归纳的这些高数知识点，对于一个正在学习高数的学生来说，是有用的。它在一定程度上，能够帮助他更好地学习高数知识并增大通过期末考试的概率；但是对于一个即将走入社会、进入职场的大四学生来说，他可能更需要一份职场攻略而不是这些高数知识。所以，信息的价值或者是信息的效用是因时因地因人而异的。换个角度，对于个人来说，它就是有保质期的。在不同的阶段，我们会面临不同的问题，注意力也会发生转移，所表现出来的就是我们需要的信息也不一样。

既然你已经知道别人会遇到你所遇到过的问题，那为什么不把你在解决这些问题的过程中的沉淀积累、经验方法分享出来帮助别人更好地解决这些问题呢？这样一来，从整体上看，这些信息就会变得越来越有价值。对，就是这样。

不管你的经验方法是对是错，至少它会对某些人产生影响(最好是积极的)、引发别人的思考和启发。

今年看过一本书叫《未来简史》，里面写了一个关于【数据主义】的话题。 有一段话，我印象深刻——

人文主义认为所有的体验发生在我们心中，我们要从自己的心里找出一切事物的意义，进而为宇宙赋予意义。(这段话就是说，事物的意义是由个人赋予的。也就是说，人活在自我编织所谓有意义的世界里。)

数据主义则认为，体验不分享就没有价值，而且我们并不需要甚至不可能从自己心里找到意义。我们该做的，就是记录自己的体验，再连接到整个大数据流中，接着算法就会找出这些体验的意义，并告诉我们接下来该怎么做。

说实话，这几句话我也没怎么看懂。好像就是想说，你体验到什么就记录下来，然后上传分享就行。不要去想这么做有没有意义，算法会解决的。

看起来似乎有些道理，就像这篇文章对这个高数知识点进行总结归纳。在网络世界里，算法会将它推送给需要它的人。那这样一来，我的"体验"不就有意义和价值了吗？所以，多记录(不限于文字、图片、语音和视频)、多上传、多分享确实是一件有意思的事情。它可以跨越时空进行交流，挺奇妙的。

也希望以上的内容能够对你有些帮助吧！

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