数论是一个很重要的学科，覆盖领域极广，小到小学的智力问题，大到世界顶级科学家都一直在研究相关问题，因此其难度跨度非常大。在程序设计里 ，也经常会出现数论的问题，但是，这些一般都是比较基本的数论问题，例如素数问题、幂、对数、阶乘、幂运算、初等数论、几何问题、组合数学等等。这些问题中，组合数学等适合在回溯里讲解。几何问题则过于繁琐， 不利于做题。本部分，我们暂时只以宿舍和合数的问题来讲解，后续找到合适的题目继续来补充。
| 关卡名 | 数学与数学高频问题 | 我会了 ✔️ | |
|---|---|---|---|
| 内容 | 1. 理解素数和合数如何判断 | ✔️ | |
| 2. 理解埃式筛的原理和工作过程 | ✔️ |
1. 辗转相除法
辗转相除法又叫做欧几里得算法,是公元前 300 年左右的希腊数学家欧几里得在他的著作《几何原本》提出的。最大公约数（greatest common divisor，简写为gcd），是指几个数的共有的因数之中最大的一个，例如 8 和 12 的最大公因数是 4，记作 gcd(8,12)=4。辗转相除法最重要的规则是，若 r 是 a ÷ b 的余数, 则gcd(a,b) = gcd(b,r)。例如计算 gcd(546, 429)：
由于 546=1(429)+117
429=3(117)+78
117=1(78)+39
78=2(39)
因此
gcd(546, 429)
=gcd(429, 117)
=gcd(117, 78)
=gcd(78, 39)
=39
该规则的证明我们不做过多解释，感兴趣的同学可以看一下www.zhihu.com/question/51…。 我们只看基于该结论如何实现，循环实现代码如下：
int gcd(int a,int b){
int k = 0;
do{
k = a % b;
a = b;
b = k;
}while(k != 0);
return a;
}
2. 素数和合数
我们看一下素数和合数的问题。素数又称为质数，素数首先要满足大于等于2，并且除了1和它本身之外，不能被任何其他自然数整除。其他数都是合数。比较特殊的是1即非素数，也非合数。2是唯一的同时为偶数和素数的数字。
有了定义，自然第一个问题就是如何判断一个正整数是否为素数。题目要求：给定一个正整数n(n<10^9)，判断它是否为素数。
基本的方式是从2开始依次与n取余测试，看看是否出现n%i==0的情况，如果出现了则说明当前的n能被i整除，所以就不是。理论上一直测试到n-1，假如都不是，那就是素数了。
而事实上不需要测试这么多，只要从2开始遍历一直到n^(1/2)就可以 ，不用执行到n-1。这个是有明确的数学证明的，我们不再赘述，如果不知道请回家问高中老师。所以实现代码就是：
boolean isPrime(int num) {
int max = (int)Math.sqrt(num);
for (int i = 2; i <= max; i++) {
if (num % i == 0) {
return false;
}
}
return true;
}
基于该基础，就可以造题了，例如LeetCode204 给定整数 n ，返回 所有小于非负整数 n 的质数的数量 。
示例 1：
输入：n = 10
输出：4
解释：小于 10 的质数一共有 4 个, 它们是 2, 3, 5, 7 。
示例 2：
输入：n = 0
输出：0
示例 3：
输入：n = 1
输出：0
这个时候就可以写代码了，代码如下：
class Solution {
public int countPrimes(int n) {
int count = 0;
for (int i = 2;i < n;i++){
if(isPrime(i)){
count++;
}
}
return count;
}
boolean isPrime(int num) {
int max = (int)Math.sqrt(num);
for (int i = 2; i <= max; i++) {
if (num % i == 0) {
return false;
}
}
return true;
}
}
然后等你兴高采烈地提交的时候,肯定会报一个错误，然后你就可能会质疑，这个博主是不是写错了，这里你别急，我们来接着看一下。
3. 埃氏筛
上面LeetCode204 的题找素数的方法虽然能解决问题，但是效率太低，能否有效率更高一些的方法呢？
解决这个题有一个有效的方法，叫做埃氏筛，后来又产生了线性筛， 奇数筛等改进的方法。
基本思想是如果 x是质数，那么大于 x 的 xy的倍数 2x. 3x… 一定不是质数，因此我们可以从这一点入手。如下图所示:
我们先选中数字2，2是素数，然后将2的倍数全部排除（在数组里将该位置标记为0就行了）。
接着我们选中数字3，3是素数，然后将3的倍数全部排除。
接着我们选择数字5，5是素数，然后将5的倍数全部排除。
接着我们选择 7，11，13一直到n，为什么 4 、6、8 、9 ...不会再选择了呢？因为我们已经在前面的步骤中，将其变成0了。所以实现代码如下：
class Solution {
public int countPrimes(int n) {
int[] isPrime = new int[n];
Arrays.fill(isPrime, 1);
int count = 0;
for (int i = 2;i < n;i++){
if(isPrime[i] == 1){
count = count + 1;
if ((long) i * i < n) {
for (int j = i * i; j < n; j += i) {
isPrime[j] = 0;
}
}
}
}
return count;
}
}
public int countPrimes(int n) {
int[] isPrime = new int[n];
Arrays.fill(isPrime, 1);
int ans = 0;
for (int i = 2; i < n; ++i) {
if (isPrime[i] == 1) {
ans += 1;
if ((long) i * i < n) {
for (int j = i * i; j < n; j += i) {
isPrime[j] = 0;
}
}
}
}
return ans;
}
4. 线性筛
线性筛可以是可以，不过测试之后发现所用的内存和时间可能比埃氏筛更长，所以这里不做过多的赘述。
class Solution {
public int countPrimes(int n) {
List<Integer> primes = new ArrayList<Integer>();
int[] isPrime = new int[n];
Arrays.fill(isPrime,1);
for(int i = 2;i < n;i++){
if(isPrime[i] == 1){
primes.add(i);
}
for(int j = 0;j < primes.size() && i * primes.get(j) < n; j++){
isPrime[i * primes.get(j)] = 0;
if(i % primes.get(j) == 0){
break;
}
}
}
return primes.size();
}
}
这是一个典型的时间换空间的方法算法，这种思想在解决一些问题的时候可以参考，例如下面丑数这个题。
5. 丑数
这个是剑指offer中的题目，我们把只包含质因子 2、3 和 5 的数称作丑数（Ugly Number），求按从小到大的顺序的第 n 个丑数。
示例：
输入: n = 10
输出: 12
解释: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 是前 10 个丑数。
根据丑数的定义，0 和负整数一定不是丑数。
当 n>0 时，若 n 是丑数，则 n 可以写成 n = 2^a + 3^b + 5^c 的形式，其中 a,b,c 都是非负整数。特别地，当 a,b,c 都是 000 时，n=1。
为判断 n 是否满足上述形式，可以对 n 反复除以 2,3,5，直到 n 不再包含质因数 2,3,5。若剩下的数等于 1，则说明 n 不包含其他质因数，是丑数；否则，说明n包含其他质因数，不是丑数。
因此可以得到如下解答方式：
class Solution {
public boolean isUgly(int n) {
if(n <= 0){
return false;
}
int[] factors =new int []{2,3,5};
for(int factor :factors){
while(n % factor == 0){
n/=factor;
}
}
return n == 1;
}
}
这里再给出一个快捷解法，希望对你有所帮助；
class Solution {
public boolean isUgly(int num) {
//需要特判0
if (num < 1) return false;
while (num % 2 == 0) num /= 2;
while (num % 3 == 0) num /= 3;
while (num % 5 == 0) num /= 5;
return num == 1;
}
}
本题也可以使用上面介绍的埃氏筛方式来解决 ，你可以思考一下如何做。
6. 通关文牒
本篇介绍了几道数论的问题，如果学有余力，就好好研究一下吧。
