量纲和单位有什么不同？

非常有幸曾线下上过Professor Zee的Fly by Night物理课，其中非常重要的概念就是量纲分析(Dimensional Analysis)。我发现许多学生对物理上量纲和单位的概念混淆很多，故作此文。

量纲vs单位

量纲(Dimension)是一种对物理量归类的方法。我们生活的世界中有各式各样的物理量，比如一块砖的质量、一只手的长度、一节课的时间等等。量纲是根据它们描述的物理概念进行分类的一种方法。常见的量纲有质量(M)、长度(L)、时间(T)、温度、电流等等。

单位(Unit)是为了精确描述一个物理量的数值，人们约定的一个基准尺度。我们通过描述一个物理量与基准尺度之间的比例关系，就可以精确地表达它的数值，例如：一根木棍0.8m，意味着木棍的长度是米(m)这个基准尺度的0.8倍。

同一个量纲下可以有很多单位，它们都可以相互换算。例如，长度量纲下有许多单位：米(m)、厘米(cm)、纳米(nm)、公里(km)、光年(ly)等等。它们都描述的是长度，也都可以相互换算。然而，米(m)无法换算成秒(s)，因为两者对应的量纲不同。

不同量纲之间无法单位换算，但是量纲之间通过物理法则联系在一起。例如，牛顿第二定律告诉我们

$\boldsymbol{F} = m\boldsymbol{a}$

于是我们可以得出，

$\text{力的量纲}=\text{质量量纲}\times\text{加速度量纲}$

由于单位总是从属于量纲，因此无论选择什么单位制度，总是有

$\text{力的单位}=\text{质量单位}\times\text{加速度单位}$

简而言之，量纲是物理量的类别，单位是在某一类别下的基准数值。 量纲之间的关系是物理法则，同一量纲下不同单位之间的关系是数值比例换算。

SI制单位

国际单位系统，简称SI(Système International)，是人们为了统一各个领域所使用的单位，在七个量纲之中各选择了一个单位作为标准单位，详情如下：

量纲	单位中文	单位英文	单位缩写
质量(M)	千克	kilogram	kg
长度(L)	米	meter	m
时间(T)	秒	second	s
电流(I)	安培	Ampere	A
温度	开尔文	Kelvin	K
物质的量	摩尔	mole	mol
光照强度	坎德拉	Candela	cd

注意区分量纲符号和单位符号，比如时间(T)是量纲，但秒(s)是时间的单位。

有好奇的同学就要提问了，世界上有那么多不同的物理量和对应的量纲，为什么只选择七种呢？原来，根据物理法则，我们可以用这七种量纲推导出其它所有量纲，从而也可以推出其它量纲的标准单位。比如上一节中我们知道力的量纲，那么我们可以得出

$\text{力的标准单位} = \text{质量标准单位}\times\text{加速度标准单位}$

因此，力的标准单位是牛顿(N)，定义为$\text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}^2$。

如果这篇文章只写到这里呢，那和初中物理课本也没什么区别。所以我们站在物理的角度上来思考一下：我们真的需要七个基本量纲吗？

剧透答案：我们只需要三个量纲(MLT)，就可以描述所有已知的物理！下面，让我们来一个一个地删除那些“没有用”的量纲。

物质的量

柿子先挑软的捏！最先被我们扔掉的量纲是物质的量。顾名思义，物质的量本质上描述了物质（原子或分子）的数量，所以是一个数字。数量本身是无量纲的，它并不是物理量。“3个苹果”的物理意义并不是“3个”赋予的，而是“苹果”赋予的。那么SI制单位中的mol，其实本身也是一个无量纲单位，它表示阿伏伽德罗常数$N_A$个，至于物理意义是什么，完全取决于数量后面的物理实体。想象一下，直接把mol这个单位删掉，遇到1 mol电子，就写$6.02214076 \times 10^{23}$个电子，好像也没有什么问题哦！

量纲记号

为了让等式变得容易一些，我们定义一个记号：

$[m] = [1\;\text{kg}] = M$

其中中括号表示“一个物理量的量纲”。这里，物理量$m=1\;\text{kg}$的量纲是质量(M)，我们也可以写：

$[\text{物质的量}] = [1\;\text{mol}] = 1$

表示物质的量是无量纲的。

光照强度

与mol同样属于无量纲单位的，还有rad弧度单位。弧度单位用来描述一个角的大小，定义为角所对圆弧长与圆半径的比值。因此，弧度是无量纲的（量纲被消去了）：

$[\text{弧度}] = \frac{[\text{圆弧长}]}{[\text{圆半径}]} = \frac{L}{L} = 1$

为什么要提到弧度呢？是因为光照强度量纲是根据其定义的：光照强度是单位立体角上的光辐射功率。立体角就是空间角，定义为在球上的截面积与球半径平方的比值，和弧度一样是无量纲的。因此，光照强度量纲本质上就是功率量纲！

$[\text{光照强度}] = [1\;\text{cd}] = [\text{功率}] = \frac{[\text{能量}]}{[\text{时间}]} = \frac{ML^2}{T^3}$

因为动能定理或者功能原理给出了：$[\text{能量}] = ML^2/T^2$。光照强度量纲就这样被化简成了MLT量纲。

温度

什么是温度？我大学的热力学教材给出了一个很有意思的定义：

Temperature is the quantity measured by a thermometer.

温度就是用温度计测量出来的量。

这不废话嘛！但其实这句话蕴含着深刻的物理学道理。与前两个无脑化简的量纲不同，温度量纲需要我们考虑一些更深入的物理学。究竟什么是温度？

几百年前，人们发现把装着水银的玻璃管插入液体中，水银柱的高度正比于液体的烫手程度，于是人们在玻璃管上画上刻度，称之为温度。在其后的若干年，开尔文勋爵总结了前人关于气体压强、体积与温度的关系，重新定义了温度的原点：绝对零度，因此定义了新的温度单位K。现在我们知道，物体的烫手程度源自于微观层面物质粒子的运动情况，温度实际上反映的是物质内部分子的平均动能。因此，我们完全可以使用一个能量来定义物体的烫手程度。

物理学家玻尔兹曼将绝对温标单位K与能量单位J进行了比较，发现其比例常数恒为玻尔兹曼常数$k_B$。就此，温度量纲完全失去了它的作用，我们完全可以重新定义温度$T$：

$k_BT\to T$

新的温度$T$“吸收”了玻尔兹曼常数，其量纲为能量量纲。为了满足热力学公式：

$dU = TdS - PdV$

我们重新定义熵$S$为一个无量纲数：

$S/k_B \to S = \ln\Omega$

是不是很符合直觉？熵描述物质的混乱程度，应该是一个无量纲数；温度描述热量传导的倾向，应该使用能量量纲。在这样一些重新定义下，玻尔兹曼常数无需存在，温度这个量纲也无需存在了。

温度这个量纲完全是因为历史原因而存在，源于科学发展过程中的盲目和无知。随着我们对物理学更深入的理解，物理规律也将化繁为简，成为普适万物的美丽学科。

事实上很多热力学与统计力学文章与教材都使用了这一约定，例如玻尔兹曼分布常常写为

$P(s) = \frac{1}{Z}e^{-\frac{E_s}{T}}$

这里的$T$实际表示$k_BT$

电磁学！

好了，我们已经解决了物质的量、光照强度、温度三个量纲，最后剩下一个电流(I)。然而，因为电流涉及到电磁学诸多的量纲，这也是最困难、最反直觉的量纲化简。让我们先公布答案：

$[I] = [1\;\text{A}] = \frac{\sqrt{EL}}{T} = M^{\frac{1}{2}}L^\frac{3}{2}T^{-2}$

我知道有些读者已经准备关掉这一页了，“这什么鬼？电流不是独立量纲也就算了，怎么还有一堆根号？”。且慢！让我来慢慢讲，这一切都源自于我们对电动力学的单位了解不够深入所致。

三款麦克斯韦方程组？

众所周知，电动力学的基础“公理”是麦克斯韦方程组，在这里我提供一个大家常见的微分形式：

$\begin{aligned}\nabla\cdot\boldsymbol{E} &= \rho/\epsilon_0 \\\nabla\cdot\boldsymbol{B} &= 0 \\\nabla\times\boldsymbol{E} &= -\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t} \\\nabla\times\boldsymbol{B} &= \mu_0\boldsymbol{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t} \\\end{aligned}$

其中，$\epsilon_0$和$\mu_0$分别是真空介电常数和真空磁导率，是两个常数。它们与真空光速$c$有一层额外关系：

$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}} \quad\to\quad \frac{1}{c} = \sqrt{\mu_0\epsilon_0}$

有没有注意到，电磁学单位的混乱其实深埋在麦克斯韦方程组当中，我们引入了两个电磁学专有的物理常数，导致电磁场与传统量纲分道扬镳。有没有一种可能，其实磁导率和介电常数这俩东西本质上是工程学科提出的，它们并不是物理法则所必须的呢？确实如此。在物理学上，麦克斯韦方程组其实有三种不同的形式，对应三套常见的单位，如下表：

SI	Heaviside-Lorentz (H-L)	Gaussian (CGS)
$\nabla\cdot\boldsymbol{E} = \rho/\epsilon_0$	$\nabla\cdot\boldsymbol{E} = \rho$	$\nabla\cdot\boldsymbol{E} = 4\pi\rho$
$\nabla\cdot\boldsymbol{B} = 0$	$\nabla\cdot\boldsymbol{B} = 0$	$\nabla\cdot\boldsymbol{B} = 0$
$\nabla\times\boldsymbol{E} = -\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}$	$\nabla\times\boldsymbol{E} = -\frac{1}{c}\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}$	$\nabla\times\boldsymbol{E} = -\frac{1}{c}\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}$
$\nabla\times\boldsymbol{B} = \mu_0\boldsymbol{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}$	$\nabla\times\boldsymbol{B} = \frac{1}{c}\Big(\boldsymbol{J} + \frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}\Big)$	$\nabla\times\boldsymbol{B} = \frac{1}{c}\Big(4\pi\boldsymbol{J} + \frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}\Big)$

不难看出，在H-L和CGS两套单位下，麦克斯韦方程组中并没有出现$\epsilon_0$和$\mu_0$，取而代之的是光速$c$。不难想象，在这样的单位体系下，电磁学量纲确实可以用传统量纲MLT表示。那究竟是怎样做到的呢？

消灭电磁学常数

从SI制传统量纲出发，我们重新定义下列物理量：

$\begin{aligned}\rho/\sqrt{\epsilon_0} \quad&\to\quad \rho \\\boldsymbol{J}/\sqrt{\epsilon_0} \quad&\to\quad \boldsymbol{J} \\\sqrt{\epsilon_0}\boldsymbol{E} \quad&\to\quad \boldsymbol{E} \\\boldsymbol{B}/\sqrt{\mu_0} \quad&\to\quad \boldsymbol{B} \\\end{aligned}$

与温度类似，我们把介电常数和磁导率“吸收”进物理量当中，各位读者可以自行检查，如果这样重新定义新的物理量，我们就会从SI制麦克斯韦方程组变为Heaviside-Lorentz形式的方程组，同时我们的各个物理量也不再依赖于电磁学专有量纲（例如电荷、电流等等）。让我们通过SI制单位来简单检查一下，以电荷为例。

很明显，在上面重新定义变量的过程中，前两行（电荷密度$\rho$和电流密度$\boldsymbol{J}$）都说明了一件事：电荷$Q$需要“吸收”系数$1/\sqrt{\epsilon_0}$。电荷在SI制的单位是库伦(C)，而常数$\epsilon_0$的单位是$\text{C}^2/\text{Nm}^2$，带入计算可得，重新定义后的电荷单位为：（括号中为单位）

$\frac{Q}{\sqrt{\epsilon_0}} \to Q\; \Big(\frac{C}{C}\sqrt{N}m = \sqrt{N}m\Big)$

也就是说，重新定义的电荷量纲为

$[Q] = \sqrt{EL} = M^{\frac{1}{2}}L^\frac{3}{2}T^{-1}$

根据电流的定义，我们就可以推算出电流的量纲

$[I] = \Big[\frac{dQ}{dt}\Big] = \sqrt{EL}/T = M^{\frac{1}{2}}L^\frac{3}{2}T^{-2}$

同样的方法，不难推出新定义的电场和磁场的量纲。但还有更巧妙的方法，因为电场和磁场的能量密度公式如下：

$\frac{E}{V} = \frac{1}{2}\epsilon_0E^2 = \frac{1}{2}\frac{B^2}{\mu_0}$

而新定义的电磁场物理量已经“吸收”了电磁学常数，所以

$[E^2] = [B^2] = E/L^3$

电场和磁场的量纲一样，是不是很巧妙、很对称呢？其它电磁学物理量的量纲就交给同学们去推导了，从电荷、电流、电磁场出发，不难通过各类电磁学物理规则获得其它物理量的量纲。不要忘了，有时电磁学常数并没有被“吸收”干净，可能会出现光速$c$哦！

特别注意，磁通量量子就是一个例子，从SI到H-L或者CGS单位，它的公式会发生变化，磁通量的量纲其实和电荷一样！

$\Phi_0 = \frac{h}{2e} \to \Phi_0 = \frac{hc}{2e}$

聪明的同学们不难看出，从H-L到CGS，其实就是电荷又多“吸收”了无量纲数$1/4\pi$，这样的好处是让点电荷的势能公式中的$4\pi$消失，在许多工程计算上会更方便。但因为“吸收”的是无量纲系数，因此并不影响物理量的量纲。

普朗克单位

上面的四节里，我们成功地用物理学“消灭”了四个基础量纲，它们有的是简单化简，有的“吸收”了并无意义的物理学常数。现在，我们只剩下三大基础量纲MLT了。

现在请同学们想一想，现代物理学中除了这些没有意义的常数，有那些常数是必不可少的呢？这些常数不仅仅是一个换算关系，更能够代表一个物理学领域呢？不多不少，正好三个：

常数	符号	量纲
真空光速	$c$	$L/T$
约化普朗克常数	$\hbar$	$ML^2/T$
引力常数	$G$	$L^3/MT^2$

有没有发现，三个方程，三个未知数（MLT）！联立方程，解出三个量纲，我们得到了用常数描述的量纲！

$M = \Big[\sqrt{\frac{\hbar c}{G}}\Big]\quad L = \Big[\sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}\Big]\quad T = \Big[\sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}\Big]$

如果带入三个常数的值，我们就可以算出三个量纲的一个基准尺度，于是我们得到了一组单位。人们把这组深埋于物理学核心的单位称为普朗克单位，包含了普朗克质量、普朗克长度、普朗克时间三个量。

这么炫酷的单位，为什么大家没有天天使用呢？因为它们太小了，实在是不方便用啊！

自然单位

另一个在粒子物理学中非常常用的单位制度是自然单位，令$c = \hbar = 1$，于是

$L = T = \frac{1}{M}$

所有量纲都可以用质量来表示。这样的好处是电磁学量纲中的根号都会消失啦！电荷甚至变成了无量纲数，同学们可以自己检查哦！

后记

物理带领我们探索这个世界的本真，但是我们不能忘却身边切实存在的生活。虽然我们可以追寻最基础的量纲和最基础的单位，但那些在我们身边的奇迹更多使用的是工程单位。SI制虽然不是物理的本质，却是度量我们周遭世界的关键。物理之美在于其普适万物，但万物各有变化，正是这样的统一和多样，构成了我们绚烂的世界。