找出美丽数组的最小和

2834. 找出美丽数组的最小和 - 力扣（LeetCode）

给你两个正整数：n 和 target 。

如果数组 nums 满足下述条件，则称其为 美丽数组 。

• nums.length == n.
• nums 由两两互不相同的正整数组成。
• 在范围 [0, n-1] 内，不存在 两个 不同 下标 i 和 j ，使得 nums[i] + nums[j] == target 。

返回符合条件的美丽数组所可能具备的 最小 和。

示例 1：

输入： n = 2, target = 3
输出： 4
解释： nums = [1,3] 是美丽数组。

• nums 的长度为 n = 2 。
• nums 由两两互不相同的正整数组成。
• 不存在两个不同下标 i 和 j ，使得 nums[i] + nums[j] == 3 。
  可以证明 4 是符合条件的美丽数组所可能具备的最小和。

示例 2：

输入： n = 3, target = 3
输出： 8
解释：
nums = [1,3,4] 是美丽数组。

• nums 的长度为 n = 3 。
• nums 由两两互不相同的正整数组成。
• 不存在两个不同下标 i 和 j ，使得 nums[i] + nums[j] == 3 。
  可以证明 8 是符合条件的美丽数组所可能具备的最小和。

示例 3：

输入： n = 1, target = 1
输出： 1
解释： nums = [1] 是美丽数组。

提示：

• 1 <= n <= 10^9
• 1 <= target <= 10^9

思路

有美丽数组定义知，1<= i < j < n 且 i + j === target 时，i 和 j 不能同时出现在美丽数组中，由于我们要求的是美丽数组的最小和，故 i 应该出现在数组中，而 j 不应该出现在数组中。我们可以从 i = 1 开始，

• 当 i < target 时，j = target - i，比较 i 和 j，当 i<=j 时，把 i 加入数组，当 i > j 时舍弃
• 当 i >= target 时，把 i 加入数组 最后求数组和就是我们要求的解，代码如解法一。

本题我们还可以直接求解，设 half = target / 2，观察美丽数组，根据上面的分析知:

• 当 half >= n 时，美丽数组是[1, 2, ..., n]，求和为 (n + 1) * n / 2
• 当 half < n 时，设 m = n - half，美丽数组是[1, 2, ..., half, target, target + 1, ..., target + m - 1]，求和为(1 + half) * half / 2 + (target + target + m -1) * m / 2

上面问题就变成了求连续整数的和了，如解法二。

解题

解法一

/**
 * @param {number} n
 * @param {number} target
 * @return {number}
 */
var minimumPossibleSum = function (n, target) {
  const MOD = 10 ** 9 + 7;
  let sum = 1;
  let i = 2;
  let k = 2;
  while (i <= n) {
    if (target <= k || target - k >= k) {
      sum = (sum + k) % MOD;
      i++;
    }
    k++;
  }
  return sum;
};

解法二

/**
 * @param {number} n
 * @param {number} target
 * @return {number}
 */
var minimumPossibleSum = function (n, target) {
  const MOD = 10 ** 9 + 7;
  const half = Math.floor(target / 2);
  if (half >= n) {
    return (((n + 1) * n) / 2) % MOD;
  } else {
    const m = n - half;
    return (
      (((((half + 1) * half) / 2) % MOD) +
        ((((target + target + m - 1) * m) / 2) % MOD)) %
      MOD
    );
  }
};