如何用O(logN)的时间算出爬楼梯?

爬楼梯是一道经典的算法题，也是递归和动态规划入门必会的一道题目。

leetcode70.爬楼梯

简单地说，就是求出斐波那契数列f(n) = f(n-1) + f(n-2)的第N项，即为本题的解。递归方法和动态规划方法的时间复杂度分别是O(2^N)和O(N)，这里不再赘述。那你知道如何用O(logN)的时间复杂度解出爬楼梯问题吗？

在此之前我们先来讨论一下，计算X^N的时间复杂度是多少呢？我们可以for循环N次求出结果值，这样做的时间复杂度是O(N)，也可以先算出X^1，做平方得出X^2，再依次做平方得出X^4、X^8，直到得出X^N的结果，因此我们可以在O(logN)的时间内计算出X^N。这个结论无论N是否是2的整数次方都是适用的。

如果对这里有疑问的话，可以去看一下leetcode 50题的题解

leetcode50.Pow(x, n)

    /**
     * 作者：力扣官方题解
     * 链接：https://leetcode.cn/problems/powx-n/
     * 来源：力扣（LeetCode）
     * 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
     */
    public double quickMul(double x, long N) {
        double ans = 1.0;
        // 贡献的初始值为 x
        double x_contribute = x;
        // 在对 N 进行二进制拆分的同时计算答案
        while (N > 0) {
            if (N % 2 == 1) {
                // 如果 N 二进制表示的最低位为 1，那么需要计入贡献
                ans *= x_contribute;
            }
            // 将贡献不断地平方
            x_contribute *= x_contribute;
            // 舍弃 N 二进制表示的最低位，这样我们每次只要判断最低位即可
            N /= 2;
        }
        return ans;
    }

回过头来观察这个递推公式 f(n) = f(n-1) + f(n-2)，如果我们把$\left[\begin{matrix}f(n-1)&f(n)\end{matrix}\right]$看成是一个1 * 2的矩阵，那么

这样就可以推导出

所以我们就可以得出下面的公式

按照我们前面的推导，计算X的N次方时间复杂度是O(logN)，这个结论对于求矩阵的N的次方也同样适用，所以求出矩阵$\left[\begin{matrix}f(n-1)&f(n)\end{matrix}\right]$的时间复杂度也就是O(logN)，那么求出f(N)的时间复杂度就也是O(logN)了