前言
分治，字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。在计算机科学中，分治法就是运用分治思想的一种很重要的算法。分治法是很多高效算法的基础，如排序算法（快速排序，归并排序），傅立叶变换（快速傅立叶变换）等等。
将父问题分解为子问题同等方式求解，这和递归的概念很吻合，所以在分治算法通常以递归的方式实现(当然也有非递归的实现方式)。分治算法的描述从字面上也很容易理解，分、治其实还有个合并的过程：
- 分(Divide)：递归解决较小的问题(到终止层或者可以解决的时候停下)。
- 治(Conquer)：递归求解，如果问题够小直接求解。
- 合并(Combine)：将子问题的解构建父类问题。
一般分治算法在正文中分解为两个即以上的递归调用，并且子类问题一般是不想交的(互不影响)。当求解一个问题规模很大很难直接求解，但是规模较小的时候问题很容易求解并且这个问题并且问题满足分治算法的适用条件，那么就可以使用分治算法。
分治法使用场景
- 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易的解决。
- 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
- 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解。
- 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。
分治算法经典问题
1. 二分搜索
二分搜索是分治的一个实例，只不过二分搜索有着自己的特殊性
- 序列有序
- 结果为一个值
正常二分将一个完整的区间分成两个区间，两个区间本应单独找值然后确认结果，但是通过有序的区间可以直接确定结果在那个区间，所以分的两个区间只需要计算其中一个区间，然后继续进行一直到结束。实现方式有递归和非递归，但是非递归用的更多一些：
public int searchInsert(int[] nums, int target) {
if(nums[0]>=target)return 0;//剪枝
if(nums[nums.length-1]==target)return nums.length-1;//剪枝
if(nums[nums.length-1]<target)return nums.length;
int left=0,right=nums.length-1;
while (left<right) {
int mid=(left+right)/2;
if(nums[mid]==target)
return mid;
else if (nums[mid]>target) {
right=mid;
}
else {
left=mid+1;
}
}
return left;
}
2. 快速排序
快排也是分治的一个实例，快排每一趟会选定一个数，将比这个数小的放左面，比这个数大的放右面，然后递归分治求解两个子区间，当然快排因为在分的时候就做了很多工作，当全部分到最底层的时候这个序列的值就是排序完的值。这是一种分而治之的体现。
public void quicksort(int [] a,int left,int right)
{
int low=left;
int high=right;
//下面两句的顺序一定不能混，否则会产生数组越界！！！very important！！！
if(low>high)//作为判断是否截止条件
return;
int k=a[low];//额外空间k，取最左侧的一个作为衡量，最后要求左侧都比它小，右侧都比它大。
while(low<high)//这一轮要求把左侧小于a[low],右侧大于a[low]。
{
while(low<high&&a[high]>=k)//右侧找到第一个小于k的停止
{
high--;
}
//这样就找到第一个比它小的了
a[low]=a[high];//放到low位置
while(low<high&&a[low]<=k)//在low往右找到第一个大于k的，放到右侧a[high]位置
{
low++;
}
a[high]=a[low];
}
a[low]=k;//赋值然后左右递归分治求之
quicksort(a, left, low-1);
quicksort(a, low+1, right);
}
3. 归并排序(逆序数)
快排在分的时候做了很多工作，而归并就是相反，归并在分的时候按照数量均匀分，而合并时候已经是两两有序的进行合并的，因为两个有序序列O(n)级别的复杂度即可得到需要的结果。而逆序数在归并排序基础上变形同样也是分治思想求解。
private static void mergesort(int[] array, int left, int right) {
int mid=(left+right)/2;
if(left<right)
{
mergesort(array, left, mid);
mergesort(array, mid+1, right);
merge(array, left,mid, right);
}
}
private static void merge(int[] array, int l, int mid, int r) {
int lindex=l;int rindex=mid+1;
int team[]=new int[r-l+1];
int teamindex=0;
while (lindex<=mid&&rindex<=r) {//先左右比较合并
if(array[lindex]<=array[rindex])
{
team[teamindex++]=array[lindex++];
}
else {
team[teamindex++]=array[rindex++];
}
}
while(lindex<=mid)//当一个越界后剩余按序列添加即可
{
team[teamindex++]=array[lindex++];
}
while(rindex<=r)
{
team[teamindex++]=array[rindex++];
}
for(int i=0;i<teamindex;i++)
{
array[l+i]=team[i];
}
}
总结
分治算法重要在于理解其思想，还有一些典型的分治算法解决的问题，例如大整数乘法、Strassen矩阵乘法、棋盘覆盖、线性时间选择、循环赛日程表、汉诺塔等问题。
写在最后
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