二次型学习小结

1、求正交变换下标准型—> 求特征值

2、坐标变换—> 求特征向量

3、求二次型f —> 求A 特征值和特征向量

4、求p、q 两种方法：特征值、配方法

5、求规范性 求p、q

6、判断合同 求p、q

7、正定

​ 7.1、定义法 对于任意X!=0,有
X T A X > 0 X^TAX>0 XTAX>0

​ 7.2、特征值

​ 7.3、顺序主子式

8、合同的传递性

​ 8.1、普通变换
f = x T A x = = > f = y T B y f=x^TAx ==> f=y^TBy f=xTAx==>f=yTBy

z 1 2 + . . . + z p 2 − z p + 1 2 − . . . − z p + q 2 z_1^2+...+z_p^2-z_{p+1}^2-...-z_{p+q}^2 z12​+...+zp2​−zp+12​−...−zp+q2​

x = C 1 Z , y = C 2 Z = > x = C 1 C 2 − 1 Z x=C_1Z, y=C_2Z =>x=C_1C_2^{-1}Z x=C1​Z,y=C2​Z=>x=C1​C2−1​Z

​ 8.2、正交变换
f = x T A x = = > f = y T B y f=x^TAx ==> f=y^TBy f=xTAx==>f=yTBy

λ 1 z 1 2 + λ 2 z 2 2 + λ 3 z 3 2 + . . . + λ n z n 2 \lambda_1z_1^2+ \lambda_2z_2^2+ \lambda_3z_3^2 + ...+ \lambda_nz_n^2 λ1​z12​+λ2​z22​+λ3​z32​+...+λn​zn2​

x = C 1 Z , y = C 2 Z = > x = C 1 C 2 T Z x=C_1Z, y=C_2Z =>x=C_1C_2^TZ x=C1​Z,y=C2​Z=>x=C1​C2T​Z