前言：剑指offer刷题系列

问题：

0,1,···,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字（删除后从下一个数字开始计数）。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

例如，0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前4个数字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的数字是3。

示例：

输入: n = 5, m = 3
输出: 3

思路1：

• 我首先想的是创建一个列表，叫做circle，它包含了从0到n-1的所有整数，用来模拟圆圈里的数字。

• 然后初始化一个变量index = 0 ，表示当前要删除的数字的索引，初始时为0。

• 然后进行一个循环，条件是圆圈里还有多于一个数字。

• index = (index + m - 1) % len(circle) 这一行计算了要删除的数字的索引，由于每次删除后从下一个数字开始计数，所以要加上m-1，然后由于圆圈是循环的，所以要取模以防越界。

• 然后删除索引为index的数字，并更新circle列表。

• 最后返回圆圈里剩下的最后一个数字，即列表中的第一个元素。

  时间复杂度：O(n*n)

  空间复杂度：O(n)

基于上述思考，代码如下：

class Solution:
    def lastRemaining(self, n: int, m: int) -> int:
        circle = list(range(n))
        index = 0
        while len(circle) > 1:
            index = (index + m - 1) % len(circle)
            circle.pop(index)
        return circle[0]

执行结果如下图：

时间复杂度太高了，测试通不过。

思路2：

• 首先判断n是否为1，如果是的话，那么最后剩下的数字就是0，直接返回。
• return (self.lastRemaining(n-1, m) + m) % n 这一行是核心的递归公式，它表示如果n大于1，那么可以先求出f(n-1, m)的值，也就是把第一个数字0删除后剩下的n-1个数字组成的圆圈里最后剩下的数字。然后根据公式f(n, m) = (f(n-1, m) + m) % n计算f(n, m)的值，也就是原来n个数字组成的圆圈里最后剩下的数字。

基于上述思考，代码如下：

class Solution:
    def lastRemaining(self, n: int, m: int) -> int:
        if n == 1:
            return 0
        return (self.lastRemaining(n-1, m) + m) % n

执行结果如下图：

学到的知识点：

约瑟夫环问题的历史背景和故事，以及它与数学家加斯帕的关系。