斐波那契数列与黄金分割比

古鸽10086
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斐波那契数列是由意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》中提出的。 数学上的定义为

  • X1=1X_1 = 1
  • X2=1X_2 = 1
  • Xn=Xn−1+Xn−2X_n = X_{n-1}+X_{n-2} 当 n > 2

首几个斐波那契数是： 1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、 21、 34、 55、 89、 144、 233、 377、 610、 987 ...

假设存在一个等比数列

等式 1

Xn+aXn−1=b(Xn−1+aXn−2)X_n + a X_{n-1} = b (X_{n-1}+aX_{n-2})

则

Xn=(b−a)Xn−1+abXn−2X_n=(b-a)X_{n-1}+abX_{n-2}

由定义可知

b−a=1ab=1b-a =1 \\ ab = 1

解方程得

a=5−12a= \frac{\sqrt{5} -1}{2}
b=5+12b= \frac{\sqrt{5} +1}{2}

令

Yn=Xn+aXn−1Y_n = X_n+aX_{n-1} \\

则

Yn−1=Xn−1+aXn−2Y_{n-1} = X_{n-1} +a X_{n-2}

根据 等式 1

Yn=bYn−1Y_{n} = bY_{n-1}

YnY_n 属于等比数列 ，根据等比数列公式

Yn=Y2bn−2Y_n = Y_2 b^{n-2} \\
Y2=X2+aX1=a+1=bY_2 = X_2+aX_1 = a+1 = b

带入公式

Yn=bbn−2=bn−1Y_n = bb^{n-2} = b^{n-1}
Yn=Xn+aXn−1=bn−1Y_n = X_n+aX_{n-1} = b^{n-1}

两边同时除已 bn b^n

Xnbn+abXn−1bn−1=1b \frac{X_n}{b_n} + \frac{a}{b} \frac{X_{n-1}}{b^{n-1}} = \frac{1}{b}

令

Zn=XnbnZ_n = \frac{X_n}{b_n}

带入得

Zn+abZn−1=1bZ_n+\frac{a}{b} Z_{n-1} = \frac{1}{b}

假设存在一个数 c

Zn+c=−ab(Zn−1+c)Z_n+c = - \frac{a}{b} (Z_{n-1} +c)

则

Zn+abZn−1=−acb−c=1bZ_n+ \frac{a}{b}Z_{n-1} = - \frac{ac}{b} -c = \frac{1}{b}

两边乘以 -b

ac+bc=−1c=−1a+b=−5ac+bc = -1 \\ c = - \frac{1}{a+b} = - \sqrt{5}

由于Zn+cZ_n+c 属于 等比数列 所以

Zn+c=(Z1+c)(−ab)n−1=(X1b1+c)(−ab)n−1=(1b+c)(−ab)n−1Z_n+c = (Z_1+c)(- \frac{a}{b} )^{n-1} = ( \frac{X_1}{b^1} +c )(- \frac{a}{b} )^{n-1} = ( \frac{1}{b} +c )(- \frac{a}{b} )^{n-1}
Zn=(1b+c)(−ab)n−1−cZ_n = ( \frac{1}{b} +c )(- \frac{a}{b} )^{n-1} -c
Xnbn=(1b+c)(−ab)n−1−c\frac{X_n}{b^n} = ( \frac{1}{b} +c )(- \frac{a}{b} )^{n-1} -c
Xn=(1b+c)(−ab)n−1bn−cbnX_n = ( \frac{1}{b} +c )(- \frac{a}{b} )^{n-1}b^n -cb^n
Xn=(1b−1a+b)(−a)n−1b+bna+bX_n = ( \frac{1}{b} - \frac{1}{a+b})(-a )^{n-1}b +\frac{b^n}{a+b}
Xn=(a−1a+b)(−a)n−1b+bna+bX_n = ( a - \frac{1}{a+b})(-a )^{n-1}b +\frac{b^n}{a+b}
Xn=(a2+ab−1a+b)(−a)n−1b+bna+bX_n = ( \frac{a^2+ab-1}{a+b})(-a )^{n-1}b +\frac{b^n}{a+b}

因为 ab = 1

Xn=(a2a+b)(−a)n−1b+bna+bX_n = ( \frac{a^2}{a+b})(-a )^{n-1}b +\frac{b^n}{a+b}
Xn=bn−(−a)na+bX_n = \frac{b^n- (-a)^n}{a+b}

带入 a 和 b 的值得 斐波那契数列通用公式

Xn=(5+12)n−(1−52)n5X_n = \frac{(\frac{\sqrt{5} +1}{2})^n- (\frac{ 1-\sqrt{5}}{2} )^n}{\sqrt{5}}

黄金分割比

黄金分割比 是数学常数，一般以希腊字母 φ\varphi 表示 可以以下代数式定义 (x>y>0)(x>y>0)

xy=x+yx \frac{x}{y} =\frac{x+y}{x}
x2−xy−y2=0x^2-xy-y^2 = 0

两边除与 y 平方

(xy)2−xy−1=0(\frac{x}{y})^2 -\frac{x}{y} -1 =0

令

φ=xy\varphi = \frac{x}{y}

得

φ2−φ−1=0\varphi^2 -\varphi -1 =0

解出 φ\varphi

φ=1+52\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}

约等于

φ＝1.61803398874989484820…\varphi＝1.61803398874989484820…

φ\varphi 的倒数为

φ−1=21+5=5−12\varphi^{-1} = \frac{2}{1+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}

约等于

φ−1＝0.61803398874989484820…\varphi^{-1}＝0.61803398874989484820…

带入斐波那契数列通用公式

Xn=(5+12)n−(1−52)n5X_n = \frac{(\frac{\sqrt{5} +1}{2})^n- (\frac{ 1-\sqrt{5}}{2} )^n}{\sqrt{5}}
Xn=(φ)n−(−φ−1)n5X_n = \frac{(\varphi)^n- (-\varphi^{-1} )^n}{\sqrt{5}}
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