题目
这题和不同的二叉搜索树的思路很像 leetcode 96. 不同的二叉搜索树
解题思路：动态规划的递推公式并不是这么好推导的，因为题目是千变万化的；我们可以利用递归的思想，一步一步转换为动态规划，因为动态规划是最接近于最优解的，而递归的过程最符合我们常人的思维，如果我们能在暴力解决题目后，然后再对这种暴力方法进行优化，这样才可以一步步演化成动态规划；
所以我们先来讲解一下如何利用递归暴力解决该题；
首先根据题目排除掉二叉树节点数为偶数个的情况，直接return 0 即可；无论如何也凑不成好二叉树这种结构；
然后找到递归的出口，这也是难点；
当整棵树上只有一个节点的时候，显然是有一种好二叉树结构的 可以记作为：节点个数n为1 , 结果count为1;
当整棵树上有3个节点时，显然也只有一种好二叉树结构，可以记作为：节点个数为n为3，结果count为1;
当整棵树上有 5 个节点时，可以将其分为左子树 3 个节点，右子树 1 个节点 或者左子树 1 个节点，右子树 3 个节点这样两种情况，如果把左子树看作单独的一棵树，左子树上不管1个节点还是3个节点都只有一种好二叉树结构；同理右子树也是一样；显然上面两种情况都各自只有一种好二叉树结构，所以当整棵树上有五个节点时，此时好二叉树的结构只有 2 种；
那么以此类推，当整棵树上的节点个数为n个时，就是将左子树上好二叉树不同结构的个数 ✖ 右子树上好二叉树不同结构的个数；递归的出口有了，同时递归的条件也有了；即将 n 分成 左子树节点数 1 ,对应的右子树节点数（n-1-1）（减第二个1的原因是需要减去头节点）；左子树节点数为3,右子树对应节点数为 (n-3-1); 以此类推当左树上节点数为 n-2时，右树节点数 1;
假设整棵树有 7 个节点，那么好二叉树的结构总数应该等于 (左：1 ✖ 右：5) 情况1好二叉树个数+ (左：3 ✖ 右：3)+ 情况2的好二叉树个数+ （左：5 ✖ 右：1）情况三的好二叉树个数；（除去头节点个数，还剩 6 个节点可以分配）
递归的代码：
public static int getTreeNumRecursion(int n) {
if ((n & 1) != 1) {
return 0;
}
// Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
return process(n);
}
public static int process(int n) {
if (n == 1 || n == 3) {
return 1;
}
int count = 0;
for (int i = 1; i < n; i += 2) {
// 左树上分i个节点，右树上分 n-i-1个节点，再去进行递归;
count += process(i) * process(n - i - 1);
}
return count;
}
递归显然是不足以通关的，因为它的时间复杂度太高了；
那么我们可以采用记忆化搜索的方式来进行优化，减少重复计算；
所谓记忆化搜索，就是使用一个(map集合或者其他集合)记录当前递归的结果，如果后面的递归过程和当前递归相同，那么直接返回当前递归结果即可，不用执行接下来的整个递归过程； 比如说当前左子树上面的节点个数为 5 个，将递归完成后的结果记录在map中后；如果右子树的节点个数为5个时，直接返回map中记录的 5 个节点所产生的结果即可，不用再次执行整个递归过程；
public static int getTreeNumRecursion(int n) {
if ((n & 1) != 1) {
return 0;
}
// 使用map来记录每个递归过程的结果，如果递归条件相同，直接返回记录的递归结果即可;
Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
return process(n, map);
}
public static int process(int n, Map<Integer, Integer> map) {
// 如果条件满足，就说明了前面已经执行过当前递归过程了，直接返回前面递归的结果即可；
if (map.containsKey(n)) {
return map.get(n);
}
if (n == 1 || n == 3) {
return 1;
}
int count = 0;
for (int i = 1; i < n; i += 2) {
// 左树上分i个节点，右树上分 n-i-1个节点，再去进行递归;
count += process(i, map) * process(n - i - 1, map);
}
// 将当前递归结果记录在map中;
map.put(n, count);
return count;
}
改造动态规划：
public static int getTreeNum(int n) {
if ((n & 1) != 1) {
return 0;
}
// dp数组就相当于记忆化搜索过程中的map集合,用来记录节点个数为i时，总共的方法数有dp[i]种;
int[] dp = new int[n + 1];
// 表示节点为1时,好二叉树结构为1
dp[1] = 1;
// 外层循环实际上是在填满dp数组
for (int i = 3; i <= n; i += 2) {
// 内存循环是在从dp数组中取出值来进行计算
for (int j = 1; j < i; j += 2) {
// 递推公式和递归过程中的递归条件很类似; 都是将节点为i的树分成多种可能性去讨论，再进行累加;
dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
dp[i] %= 1000000007;
}
}
return dp[n];
}
