将字符串翻转到单调递增（非DP的解法）

简介

926. 将字符串翻转到单调递增 的算法问题大多使用动态规划（DP）来求解。本文介绍了一种利用数学推导的来解决这个问题的方法，简单有趣。

问题描述

如果一个二进制字符串，是以一些 0（可能没有 0）后面跟着一些 1（也可能没有 1）的形式组成的，那么该字符串是 单调递增 的。
给你一个二进制字符串 s，你可以将任何 0 翻转为 1 或者将 1 翻转为 0 。
返回使 s 单调递增的最小翻转次数。

示例 1：
输入： s = "00110"
输出： 1
解释： 翻转最后一位得到 00111.

示例 2：
输入： s = "010110"
输出： 2
解释： 翻转得到 011111，或者是 000111。

示例 3：
输入： s = "00011000"
输出： 2
解释： 翻转得到 00000000。

问题分析

首先，我们换个角度来重新描述这个问题：

给你一个长度为 $n$ 二进制字符串 s。
请你选取前 $x$ 个字符，将前 $x$ 个字符中的所有 1 翻转为 0，将之后的（ $n - x$ 个）字符的所有 0 翻转为 1。

求：当 $x$为多少时翻转次数 $f(x)$ 最小?

通过上面的描述我们不难看出：

翻转次数 = 前 $x$ 个字符中 1 的个数 + 后面的 $n - x$ 个字符中 0 的个数。

假设：前 $x$ 个字符中有 $a(x)$ 个 0
则：前 $x$ 个字符中有 $x - a(x)$ 个 1

又因为：长度为 $n$ 二进制字符串 s 中总共有 $a(n)$个 0
则：后面的 $n - x$ 个字符中有 $a(n) - a(x)$ 个 0

那么我们可以得到： $f(x) = (x - a(x)) + (a(n) - a(x))$

即：

再次回到我们的问题:

求解 ${f}_{min}(x)$ ?

答案呼之欲出，我们只需要遍历一遍根据上述公式计算并记录下函数的最小值即可。

代码实现

这里有一个细节：由于 $a(n)$ 是固定的常量，所以可以在遍历的过程中忽略，在遍历结束后加上。

/**
 * 将字符串翻转到单调递增
 * @param {String} s  e.g. "AABBAAB"
 */
function minFlipsMonoIncr(s) {
  const n = s.length

  // partial 的最小值
  let partial_min = 0

  // 记录 0 的个数
  let a = 0

  for (let i = 0; i < n; i++) {
    // 计数 `a(x)`
    if (s[i] === '0') {
      a++
    }

    const x = i + 1

    // 公式中 `x - 2 * a(x)` 的部分
    const partial = x - 2 * a

    partial_min = Math.min(partial_min, partial)
  }

  // 追加上 a(n)
  return a + partial_min
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)

写在最后

如果你有其他有意思的方法，欢迎留言分享。
如果你想了解动态规划（DP）版的求解，可以参看官方的解题。