338. 计算二进制表示中1的个数

Brian Kernighan 算法

public int countOnes(int x) { 
    int ones = 0;
    while (x > 0) { 
        x &= (x - 1); 
        ones++;
    } 
    return ones; 
}

x &= (x - 1)每执行一次，x 的二进制表示减少且仅减少一个 1。
原理：

x	x - 1	x & (x - 1)
1	0	0
10	01	00
100	011	000
1000	0111	0000
. . .

以此类推。对二进制数假设一个切割，如11011看作1101和1的组合。执行一次x &= (x - 1)，1变成了0，11011变成了11010，减少了一个1。现在，把11010看作110和10的组合，得到110和00，即11000，再次减少一个1。这个切割为从右往左第一个1开始。
总结：x = x & (x - 1) 为 x 的二进制表示中的最低位数的 1 变为0之后的数。

动态规划——最高有效位

public int[] countBits(int n) {
    int[] bits = new int[n + 1];
    int highBit = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if ((i & (i - 1)) == 0) {
            highBit = i;
        }
    bits[i] = bits[i - highBit] + 1;
    }
    return bits;
}

二进制数的最高位为1，将最高位转换为0，同样能将二进制数减少一个1，如1100->0100。循环是单调递增的，当i & (i - 1) == 0时，此时的i为2的整数次幂（形如10000），记录为highBit，为后续的i的同等位数的2的整数次幂。i的1的个数等于i - highBit的1的个数加1。如bits[1110] = bits[110] + 1（其中的数为二进制表示）。

动态规划——最低有效位

public int[] countBits(int n) {
    int[] bits = new int[n + 1];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        bits[i] = bits[i >> 1] + (i & 1);
       }
    return bits;
}

动态规划——最低设置位

public int[] countBits(int n) {
    int[] bits = new int[n + 1];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        bits[i] = bits[i & (i - 1)] + 1;
    }
    return bits;
}

参考上述Brian Kernighan 算法，i比i & (i - 1)多一个1。

要点总结

1. 涉及数组，优先考虑动态规划
2. i & (i - 1) == 0的判断， x = x & (x - 1)的更新
3. 按位与&的应用

136. 只出现一次的数字

问题： 对于整数数组 nums ，除了某个元素只出现一次以外，其余每个元素均出现两次。找出那个只出现了一次的元素。

public int singleNumber(int[] nums) {
    int single = 0;
    for (int num : nums) {
        single ^= num;
    }
    return single;
}

异或^运算有三个性质：

1. 任何数和0做异或运算，结果仍然是原来的数
2. 任何数和其自身做异或运算，结果是0
3. 异或运算满足交换律和结合律

数组中的全部元素的异或运算结果即为数组中只出现一次的数字。