频率滤波（Frequency filtering）

XiaoLinzzz
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傅立叶分析（Fourier Analysis）

1D

        傅立叶变换是一种将 signal 和 pattern 分解为一堆正弦曲线（Sinusoids）的方法 。

  • 傅立叶变换

    • 傅立叶变换将信号分解为频率分量

      • 数值为复数，代表正弦波的振幅和相位
      • 时域（Time domain） -> 频域（frequency domain）
      • 对于图像：空间域（Spatial domain） -> 频域

    • 傅立叶变换公式： F(w) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2i\Pi \omega x} dx

    • 反傅里叶变换（Inverse Fourier transform）将频率域转换回空间域（space domain）

  • 频谱（Frequency spectrum）

Frequency: magnitude (amplitude) + angle (phase)

  • The axis is frequency
  • Values are complex numbers（复数）
  • Magnitude（幅度） = amplitude（振幅） of the sinusoid
  • Angle = phase（相位） of the sinusoid

图像（2D）

  • 正弦曲线（Sinusoids）

        amplitude => 亮和暗的地方

        frequency => 周期（重复的次数）

  • 傅立叶变换

 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。

  • 如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的
  • 如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小）

  • 例子

因为将中心移到中间后，中间的亮点是 DC（image mean），越往外频率越高。

         因为图中考拉的背景，考拉和考拉抱的树枝灰度差异较大，所以分布偏向于右上。

  • 小结

    • 任何图像都可以用其傅立叶变换来表示
    • 傅立叶变换 = 每个频率的幅度（振幅）+ 相位
    • Magnitude 捕捉图像的整体 "纹理"，但边缘主要由傅里叶相位表示

频率滤波

  • 频域操作

    • 空间域中的运算与频域中的运算是相同的
    • 卷积与乘法的对应关系:      FT[h*f] = FT[h]FT[f]
    • 反傅立叶变换与卷积的关系:   FT^{-1}[hf] = FT^{-1}[h] * FT^{-1}[f]                

  • 带通滤波器（Bandpass filter）

    • 定义：在图像处理中，带通滤波器的概念与信号处理中的概念相似，但应用到了二维空间上。带通滤波器只允许特定频率范围内的空间变化通过，而阻止其他的空间变化。

      当我们谈论图像的"频率"时，我们通常是指图像的纹理或模式的细致程度。例如，一张图片中的细节部分（例如，纹理丰富的草地或树叶）可以看作具有高频率，而大块单色或平滑渐变的部分（例如，蓝天或平滑的湖面）可以看作具有低频率。

      所以，带通滤波器可以用于提取图像中特定尺度的纹理或细节，或者去除某些尺度的噪声。

    • 低通滤波器（Low pass filter）

      • 保留低空间频率，去除高频率

  • 高通滤波器（High pass filter）

    • 保留高空间频率，去除低频率

  • 反卷积定理（Inverse convolution theorem）

  • 小结

    • 可以在空间域或频率域对图像进行过滤
    • 一个域中的运算在另一个域中具有等效性
    • 空间域的卷积=傅里叶域的乘法
    • 在两个域中对滤波器进行建模，有助于理解/调试滤波器的工作原理

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