导语

leetcode刷题笔记记录，本篇博客是动态规划，主要记录题目包括：

• 518. 零钱兑换 II
• 377. 组合总和 Ⅳ

知识点

完全背包

在完全背包问题中，我们有一系列物品和一个背包，每种物品都有自己的重量和价值。不同于0-1背包问题，完全背包问题允许多次选择同一种物品。目标通常是选择一些物品，使得背包中物品的总重量不超过给定的限制，同时最大化总价值。

动态规划解法

在动态规划解法中，通常会定义一个数组 dp，其中 dp[i] 代表了当背包容量为 i 时的最大价值。

代码示例（Python）：

def complete_knapsack(weight, value, capacity):
    dp = [0] * (capacity + 1)
    for i in range(len(weight)):
        for j in range(weight[i], capacity + 1):
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
    return dp[capacity]

0-1背包问题的动态规划解法

在0-1背包问题中，每种物品也有自己的重量和价值，但每种物品只能选择一次或者不选择。目标和完全背包问题一样：选择一些物品，使得背包中物品的总重量不超过给定的限制，同时最大化总价值。在动态规划解法中，同样会定义一个数组 dp，其中 dp[i] 代表了当背包容量为 i 时的最大价值。

代码示例（Python）：

def zero_one_knapsack(weight, value, capacity):
    dp = [0] * (capacity + 1)
    for i in range(len(weight)):
        for j in range(capacity, weight[i] - 1, -1):
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
    return dp[capacity]

区别

1. 物品选择次数：在完全背包问题中，每种物品可以被选择多次；而在0-1背包问题中，每种物品最多只能被选择一次。

2. 动态规划方程更新：

   • 在完全背包问题中，对于每个物品，动态规划方程从小到大更新（for j in range(weight[i], capacity + 1)）。
   • 在0-1背包问题中，对于每个物品，动态规划方程从大到小更新（for j in range(capacity, weight[i] - 1, -1)）。

3. 应用场景：完全背包问题通常适用于物品可以无限次选取的情况，如找零问题、硬币组合等；而0-1背包问题适用于物品只能选或不选的情况。

4. 时间复杂度：两者的时间复杂度通常都是 O(NC)，其中 N 是物品数量，C 是背包容量。但是由于完全背包问题中同一种物品可能会被选择多次，所以实际运行时间可能会有所不同。

Leetcode 518. 零钱兑换 II

题目描述

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。 

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

 

示例 1：

输入： amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出： 4
解释： 有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2：

输入： amount = 3, coins = [2]
输出： 0
解释： 只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。

示例 3：

输入： amount = 10, coins = [10] 
输出： 1

 

提示：

• 1 <= coins.length <= 300
• 1 <= coins[i] <= 5000
• coins 中的所有值 互不相同
• 0 <= amount <= 5000

解法

使用动规五部曲：

1. dp[j]表示装满容量为j的背包，一共有dp[j]种方法；
2. 递推公式为：$dp[j]+=dp[j-coins[i]]$(一共多少种方法的问题，一般都是这个公式)；
3. 初始化这里必须dp[0]=1，其他为0
4. 遍历顺序为先遍历物品、后遍历背包，这样得到的结果为组合数，而如果先遍历背包、后遍历物品，则得到结果为排列数
5. 打印dp数组

class Solution:
    def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
        # 初始化一个大小为 (amount + 1) 的数组 dp。
        # dp[i] 将存储凑成金额 i 的硬币组合数。
        dp = [0] * (amount + 1)
        
        # 用 0 个硬币凑成金额 0 的组合只有一种，即不选取任何硬币。
        dp[0] = 1
        
        # 遍历所有硬币，用它们更新 dp 数组。
        for i in range(len(coins)):
            # 对于每一个硬币，从其面值开始直到总金额，更新 dp 数组。
            for j in range(coins[i], amount + 1):
                # dp[j] 等于不使用当前硬币的组合数 dp[j] 加上
                # 使用当前硬币的组合数 dp[j - coins[i]]。
                dp[j] += dp[j - coins[i]]
        
        # dp[amount] 存储了凑成总金额的硬币组合数。
        return dp[amount]

Leetcode 377. 组合总和 Ⅳ

题目描述

给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。

题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

 

示例 1：

输入： nums = [1,2,3], target = 4
输出： 7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

示例 2：

输入： nums = [9], target = 3
输出： 0

 

提示：

• 1 <= nums.length <= 200
• 1 <= nums[i] <= 1000
• nums 中的所有元素 互不相同
• 1 <= target <= 1000

 

进阶： 如果给定的数组中含有负数会发生什么？问题会产生何种变化？如果允许负数出现，需要向题目中添加哪些限制条件？

解法

这道题目实际上就是上一道题目的考虑顺序版本，只需要交换一下for循环的遍历顺序，注意背包的容量target一定要取到！

即

        # 从 1 到 target 迭代，计算每个可能的目标和
        for j in range(1, target + 1):

class Solution:
    def combinationSum4(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        # 初始化一个长度为 target+1 的数组 dp，并将 dp[0] 设置为 1。
        # dp[i] 将存储和为 i 的元素组合的个数。
        dp = [0] * (target + 1)
        dp[0] = 1  # 唯一和为 0 的组合是不选取任何数字，所以只有一种方式。
        
        # 从 1 到 target 迭代，计算每个可能的目标和
        for j in range(1, target + 1):
            # 遍历每个数 nums[i]，检查它是否可以用于构建和为 j 的组合。
            for i in range(len(nums)):
                # 如果当前的目标和 j 大于或等于 nums[i]，
                # 那么就可以用 nums[i] 去构建和为 j 的组合。
                if j >= nums[i]:
                    # dp[j] 加上 dp[j - nums[i]]，
                    # 因为每一种和为 j - nums[i] 的组合都可以通过添加 nums[i] 来得到一个和为 j 的组合。
                    dp[j] += dp[j - nums[i]]
        
        # 返回和为 target 的组合个数
        return dp[target]

总结