基础知识

1. 线性码、非线性码

   假设$C_i ,{\;C}_j$是某(n, k)分组码的两个码字；$\alpha_1 ,\alpha_2$是码元字符集内的任意两个元素，那么当且仅当对于任意$\alpha_i =\alpha_1 C_i +\alpha_2 C_j$也是码字时，称该码为线性码。否则为非线性码。

2. 分组码、卷积码

   按监督位与信息位之间的约束关系，分为分组码与卷积码两大类。分组码编码的规则仅局限于本码组之内，本码组的监督（校验）元仅和本码组的信息元相关。卷积码在本码组的监督元不仅和本码组的信息元相关，而且还与本码组相邻的前n-1个码组的信息元相关。

3. 检错码、纠错码

   按信道编码的目的来分，可将信道编码分为检错码和纠错码。对只能够发现错误但没有纠正错误能力的码称为检错码。有发现错误并能纠正错误能力的码称为纠错码。

常用编码的原理

1. Hamming码

   Hamming码是一类完备码、线性分组码，其纠错能力$t=1$，对于二进制汉明码，其码长n与信息位k之间满足

   $$\left(n,k\right)=\left(2^m -1,2^m -1-m\right)$$

   其中$m=n-k$为正整数。

   对于一个(n, k)分组码，有n-k位校验元。在二进制码情况下，二元(n,k)线性码能纠$2^{n-k}$个错误图样（包括0矢量在内）。即n-k个校验位能组成2n-k列不同的n-k重，其中有$2^{n-k} -1$列不全为 0。

   若用这$2^{n-k} -1$列作为$H$矩阵的每一列，则由此$H$就产生了一个纠正单个错误的(n, k)码。通过列变换将矩阵$H$变为系统形式，即可进一步得到相应的生成矩阵$G$，此即Hamming码的编译码原理。

2. 循环码

   循环码满足循环移位特性：即对于码字C中任何一个码字的循环移位仍是码字。一个(n,k)线性分组码的k个基底之间不存在规则的联系，因此可用k个基底组成生成矩阵来表示一个码的特征，而循环码的k个基底可以是同一个基底循环k次得到的。

   由是，只需要一个基底即可表示一个码的特征，则可通过码多项式与码字联系起来。循环码的译码与线性码的译码步骤基本一致，不过由于循环码的循环特性使译码电路大为简化。

   译码过程仍为：接收多项式的伴随式计算、求伴随式对应的错误图样、用错误图样纠错。由于码多项式和伴随式的循环移位特性，纠错电路可设计成只纠最高阶位上的错误，对于码组中其他位置上的错误，则利用它的循环特性能使可纠错误图样中的全部错误都得到纠正。

3. BCH 码

   BCH 码是一类循环码，其生成多项式 g(x)包含2t个连续幂次的根，由该g(x)生成的循环码，其纠错能力不小于t，其译码过程同循环码。对于二进制本原BCH码，其具有下列参数

   $$n=2^m -1;n-k=\mathrm{mt};d_{\mathrm{min}} =2t+1$$

   其中，m（≥3）和纠错能力t（＜$2^{m-1}$）是正整数，n为码长。

4. RS码

   RS码是特殊的、非二进制BCH码。在(n, k) RS 码中，输入信号分成k ⋅ m比特一组，每组包括k个符号，每个符号由m 比特组成（而不是前面介绍的二元BCH码中的一个比特）。RS码的编码过程与BCH码一样，不同的是，在编码电路中，所有数据通道都是m比特宽，即移位寄存器为m级并联工作的，每个反馈连接必须乘以生成多项式中相应的系数。

5. CRC

   CRC即循环冗余校验码（Cyclic Redundancy Check），在数据通信中，信息都是先划分成小块再组装成帧后（或叫分组、包、信元）在线路上统计复用传送或存入共同物理介质的，帧尾一般都留有8，12，16或32位用作差错校验。

   如把一帧视为一个码字，则其校验位长度n-k不变而信息位k和码长n是可变的，这正符合(n-i, k-i)缩短循环码的特点。 故而在CRC码的编码过程仍同循环码编码，即通过生成多项式g(x)建立。在译码中，仍是通过将接收到的二进制序列除以多项式g(x)，而查看余数情况实现。