信噪比(SNR)和符号/比特能量与噪声功率谱密度之比(Eb/n0)之间的关系

在AWGN信道下，有两个关键参数：信噪比（SNR）和符号/比特能量与噪声功率谱密度之比（$\frac{E_s }{n_0 },\frac{E_b }{n_0 }$），下面讨论这两个参数之间的关系。

对于信噪比SNR，有$\mathrm{SNR}=10\mathrm{lg}\left(\frac{S}{N}\right)$，其中S为信号平均功率，N为噪声的平均功率。

对于比特能量与噪声功率谱密度之比$\frac{E_b }{n_0 }$，有$E_b =\frac{S}{R_b }$，$n_0 =\frac{N}{B}$，其中$B$为信道宽度（频带宽度），$R_b$为信息传输速率（比特率）。即有

其中$\eta_b$为频带利用率。

将等式取为dB形式，即可得到$\frac{E_b }{n_0 }$与$SNR$关系：$\frac{E_b }{n_0 }$(dB)=SNR(dB)$-$10lg$\eta_b$.

可见比特能量与噪声功率谱密度之比$\frac{E_b }{n_0 }$表现了信噪比与频谱效率的一种综合关系。对于信噪比SNR，其可衡量信息传输可靠性；对于频谱效率$\eta_b$，其可衡量数字通信系统有效性，故而可将$\frac{E_b }{n_0 }$看作衡量数字通信系统性能（有效性、可靠性）的重要指标。

对于符号能量与噪声功率谱密度之比$\frac{E_s }{n_0 }$，有$E_s =E_b \times k$，其中$k$为每个符号携带的比特量，在M进制符号中，有$k={\mathrm{log}}_2 M$。由上段推导可得

即可得$\frac{E_s }{n_0 }$与SNR关系。

因$R_b ={\mathrm{kR}}_B =\frac{k}{T_{\mathrm{sym}} }$，其中$T_{\mathrm{sym}}$为符号时间长度，有

对于数字通信系统，应用频域分析方法。在实频域上，由采样定理有$f_s =2B$，即$B=\frac{1}{2T_s }$，代入上式，可得：

等式两边化为分贝形式，可得实频域分析下数字通信系统的符号能量与噪声功率谱密度之比$\frac{E_s }{n_0 }$和信噪比SNR的关系：

将AWGN信道中的原以实数形式表示的噪声表示为虚数形式（解析信号），以等效低通表示原带通噪声的幅包络，其包含了原信号$x\left(t\right)$除中心频率外中的全部信息。所得等效基带信号功率谱密度呈现为宽为B，高为$N_0$，关于纵轴对称的矩形，其最高频率$f_H =\frac{B}{2}$. 依据奈奎斯特采样定律，可知该包含AWGN信道的数字通信系统，有采样频率$f_s \ge 2f_H$. 为尽可能小地减小噪声的影响、尽可能获得大的信噪比，应取$f_s =2f_H$，避免引入有用频带外的噪声。此时有$f_s =B$，即信号的采样周期$T_s =\frac{1}{B}$.

将$B=\frac{1}{T_s }$代入$\frac{E_s }{n_0 }=\frac{S}{N}{\mathit{BT}}_{\mathit{sym}}$，可得

等式两边化为分贝形式，可得复频域分析下数字通信系统的符号能量与噪声功率谱密度之比$\frac{E_s }{n_0 }$和信噪比SNR的关系：