[HNOI2004] 打鼹鼠

题目描述

鼹鼠是一种很喜欢挖洞的动物，但每过一定的时间，它还是喜欢把头探出到地面上来透透气的。根据这个特点阿牛编写了一个打鼹鼠的游戏：在一个 $n \times n$ 的网格中，在某些时刻鼹鼠会在某一个网格探出头来透透气。你可以控制一个机器人来打鼹鼠，如果 $i$ 时刻鼹鼠在某个网格中出现，而机器人也处于同一网格的话，那么这个鼹鼠就会被机器人打死。而机器人每一时刻只能够移动一格或停留在原地不动。机器人的移动是指从当前所处的网格移向相邻的网格，即从坐标为 $(i, j)$ 的网格移向 $(i-1, j), (i+1, j), (i, j-1), (i, j+1)$ 四个网格，机器人不能走出整个 $n \times n$ 的网格。游戏开始时，你可以自由选定机器人的初始位置。

现在知道在一段时间内，鼹鼠出现的时间和地点，请编写一个程序使机器人在这一段时间内打死尽可能多的鼹鼠。

输入格式

第一行为 $n, m$ （ $n \le 1000$ ， $m \le {10}^4$ ），其中 $m$ 表示在这一段时间内出现的鼹鼠的个数，接下来的 $m$ 行中每行有三个数据 $\mathit{time}, x, y$ 表示有一只鼹鼠在游戏开始后 $\mathit{time}$ 个时刻，在第 $x$ 行第 $y$ 个网格里出现了一只鼹鼠。 $\mathit{time}$ 按递增的顺序给出。注意同一时刻可能出现多只鼹鼠，但同一时刻同一地点只可能出现一只鼹鼠。

输出格式

仅包含一个正整数，表示被打死鼹鼠的最大数目。

样例 #1

样例输入 #1

2 2	         
1 1 1		
2 2 2

样例输出 #1

思路

从题目中可以发现是一个时间递增的过程，所以只要是在后面的点都是后出现的，换句话说，在条件达成时，前面的点可以到达后面的点，求最长的一条链，非常的像LIS（最长上升子序列），只是将 f[i]>=f[j] 的条件变为 abs(x[i]-x[j])+abs(y[i]-y[j])<=t[i]-t[j] 即可

f[i]的状态表示为以第i只鼹鼠结尾时，最多的方案数(特点：下一次的到达什么点，和前一个点有关)

但是此题不可以用 LIS 的优化，变为 nlogn 的复杂度，因为此题的序列没有传递性。

比如 LIS 中 a,b,c 三个数 a < b,b < c 则 a < c 。但是此题没有这个规律，所以不能进行优化。但是可以通过 break 来减少时间

定义数组 mx ， mx[i] 表示 f[1] 到 f[i] 的最大值，所以 mx[i]>=mx[i-1] ，所以第二层循环从后向前循环，如果 mx[j]+1<=f[i] 那说明之后就没有状态可以转移了，就 break

代码

#include<iostream>
using namespace std;
int n,m,f[10005],x[10005],y[10005],t[10005],ans,mx[10005];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&t[i],&x[i],&y[i]);
        f[i]=1; // 每一个状态至少为1
    }
    mx[1]=1;
    for(int i=2;i<=m;i++){
        // 枚举以前的点
        for(int j=i-1;j>=1;j--){
            if(mx[j]+1<=f[i]){
                break;
            }
            if(abs(x[i]-x[j])+abs(y[i]-y[j])<=t[i]-t[j]){   // 可以由前一个点走到
                f[i]=max(f[i],f[j]+1);
            }
        }
        mx[i]=max(mx[i-1],f[i]);
        ans=max(ans,f[i]);
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

线性动态规划例题 | 青训营