导语

leetcode刷题笔记记录，本篇博客是动态规划部分的第二期，主要记录题目包括：

62.不同路径
1. 不同路径 II

Leetcode 62.不同路径

题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入： m = 3, n = 7
输出： 28

示例 2：

输入： m = 3, n = 2
输出： 3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

提示：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 109

解法

使用动规五部曲：

dp数组含义：dp[i][j]表示从（0,0）到（i，j）有多少种不同的路径；
递推公式：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

初始化：应该将第一行和第一列初始化为1
遍历顺序：由于递归公式中需要上方和左方的值，所以应该是从上往下，从左往右；
打印dp数组；

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        # 初始化一个 m x n 的二维数组，全部填充为0
        # 这个数组dp[i][j]表示从起始点到(i, j)位置的不同路径数量
        dp = [[0] * n for i in range(m)]
        
        # 设置起点到第一列的任意位置都只有一条路径（机器人只能一直向下走）
        for i in range(m):
            dp[i][0] = 1
        
        # 设置起点到第一行的任意位置都只有一条路径（机器人只能一直向右走）
        for j in range(n):
            dp[0][j] = 1
        
        # 使用动态规划填充数组
        # 对于位置(i, j)，机器人只有两种方式到达：从(i-1, j) 或者 从(i, j-1)
        # 所以，dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

        # 返回起始点到(m-1, n-1)位置的路径数量，即整个网格的右下角
        return dp[m-1][n-1]

易错点

遍历时，i,j都是从1开始的，而不是0，请注意！

Leetcode 63. 不同路径 II

题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例 1：

输入： obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出： 2
解释： 3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2：

输入： obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出： 1

提示：

m == obstacleGrid.length
n == obstacleGrid[i].length
1 <= m, n <= 100
obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1

解法

相比于上一题，这一题增加了障碍，因此，我们的递推公式和数组初始化部分需要进行修改，具体如下：

递归公式的更新仅当该位置没有障碍时才进行更新；
dp数组初始化时，遇到障碍后的地方初始化为0，而不是1；

修改后代码如下：

class Solution:
    def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid: List[List[int]]) -> int:
        # 获取网格的行数m和列数n
        m, n = len(obstacleGrid), len(obstacleGrid[0])
        
        # 初始化一个 m x n 的二维数组，全部填充为0
        # 这个数组dp[i][j]表示从起始点到(i, j)位置的不同路径数量
        dp = [[0] * n for i in range(m)]
        
        # 初始化第一列的路径数量
        # 如果一个位置上有障碍物，则这个位置及其之后的所有位置都不可达，因此路径数量为0
        for i in range(m):
            if obstacleGrid[i][0] == 1:
                break
            dp[i][0] = 1
        
        # 初始化第一行的路径数量
        # 如果一个位置上有障碍物，则这个位置及其之后的所有位置都不可达，因此路径数量为0
        for j in range(n):
            if obstacleGrid[0][j] == 1:
                break
            dp[0][j] = 1
        
        # 使用动态规划填充数组
        # 对于没有障碍物的位置(i, j)，机器人只有两种方式到达：从(i-1, j) 或者 从(i, j-1)
        # 所以，dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
        # 如果位置(i, j)上有障碍物，则 dp[i][j] 默认为0
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                if obstacleGrid[i][j] == 0:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

        # 返回起始点到(m-1, n-1)位置的路径数量，即整个网格的右下角
        return dp[m-1][n-1]

Leetcode刷题笔记39：动态规划2（62.不同路径-63. 不同路径 II）

导语

Leetcode 62.不同路径

题目描述

解法

易错点

Leetcode 63. 不同路径 II

题目描述

解法

总结