本篇笔记是笔者在第六届字节跳动青训营期间使用 Go 语言学习堆时所做的笔记
堆的概念
堆是一种十分重要的数据结构，基层数据结构为树。每一个子树的根都比它的字节点大或小。
- 每个子树的根都比它的节点大的，叫做大顶堆。该树的根节点为整个树节点中最大的值
- 每个子树的根都比它的节点小的，叫做小顶堆。该树的根节点为整个树节点中最小的值
以下为了方便说明，只讨论大顶堆，小顶堆类似
为什么使用堆
堆借助了树的特点，使得我们可以快速地从某一个集合中得到最大的值。利用该特点，我们可以借助堆实现堆排序，其时间复杂度为 O(nlogn)。本篇笔记不赘述时间复杂度的推导。
下沉，上浮和树状数组
下沉和上浮
在树结构的基础上，结合下沉和上浮的字面意思，我们可以这样理解这两个操作
- 下沉：将一个节点的大小与它的两个子节点进行比较，若该节点的值小于某个子节点，则将该节点与该节点交换，重复这个操作，直至该节点的值都大于它的两个子节点的值
- 上浮：将一个节点的大小与它的父节点的值进行比较，若该节点的值比它的父节点值大，则将该节点与它的父节点交换位置，直至该节点的值小于满足子节点的值
下沉和上浮可以理解成，我们在维护堆结构的手段，在具体描述它们的使用情况之前，由于我们常见的堆常常是使用数组实现，因此我们先介绍树状数组的实现
树状数组
树状数组是指使用数组实现树的结构，实质上就是存储的是一个完全二叉树的层次遍历的节点序列，使用索引关系指示节点之间的父子关系，具体地，有以下两种：
- 数组第一个元素索引为 0: 对于索引 i，若 2 * i + 1 < Size(heap)，则 2 * i + 1 是它的左孩子，2 * i + 2 < Size(heap)，则 2 * i + 2 是它的右孩子
- 数组第一个元素索引为 1: 对于索引 i，若 2 * i <= Size(heap)，则 2 * i 是它的左孩子，2 * i + 1 <= Size(heap)，则 2 * i + 1 是它的右孩子
下沉和上浮应用场景
在考虑应用场景的时候，一定注意，我们是在使用数组实现树结构。
下沉
当我们要弹出当前堆中维护的最大值时，也就是当前数组中的第一个元素，此时我们暂时记录数组中第一个元素的值为maxValue，然后我们将数组中的最后的一个元素的值覆盖到第一个元素的位置，并将数组大小（堆大小）减1即可。此时注意到当前第一个元素并不满足堆的性质，而其又处在整个树的最上部（树根位于顶部），因此我们需要将其进行下沉操作，下沉操作结束后返回maxValue即可
上浮
当我们在建立堆或是向堆中插入元素时，我们会在数组末尾添加一个元素，然后将数组大小（堆大小）加1。此时，我们注意到，新增的元素可能不满足堆的性质，因此我们将其上浮。
reminder：根据上浮和下沉的性质，不难发现其可以使用递归快速地完成
示例
下面是 Leetcode215. 数组中的第K个最大元素的官方GO语言题解，其中体现了下沉的操作:
func findKthLargest(nums []int, k int) int {
heapSize := len(nums)
buildMaxHeap(nums, heapSize)
for i := len(nums) - 1; i >= len(nums) - k + 1; i-- {
nums[0], nums[i] = nums[i], nums[0]
heapSize--
maxHeapify(nums, 0, heapSize)
}
return nums[0]
}
func buildMaxHeap(a []int, heapSize int) {
for i := heapSize/2; i >= 0; i-- {
maxHeapify(a, i, heapSize)
}
}
func maxHeapify(a []int, i, heapSize int) {
l, r, largest := i * 2 + 1, i * 2 + 2, i
if l < heapSize && a[l] > a[largest] {
largest = l
}
if r < heapSize && a[r] > a[largest] {
largest = r
}
if largest != i {
a[i], a[largest] = a[largest], a[i]
maxHeapify(a, largest, heapSize)
}
}
作者：力扣官方题解
链接：https://leetcode.cn/problems/kth-largest-element-in-an-array/solutions/307351/shu-zu-zhong-de-di-kge-zui-da-yuan-su-by-leetcode-/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
