求斐波那契数列矩阵乘法的方法

1）斐波那契数列的线性求解（O(N)）的方式非常好理解

2）同时利用线性代数，也可以改写出另一种表示

| F(N) , F(N-1) | = | F(2), F(1) | * 某个二阶矩阵的N-2次方

3）求出这个二阶矩阵，进而最快求出这个二阶矩阵的N-2次方

类似斐波那契数列的递归优化

如果某个递归，除了初始项之外，具有如下的形式

F(N) = C1 * F(N) + C2 * F(N-1) + … + Ck * F(N-k) ( C1…Ck 和k都是常数)

并且这个递归的表达式是严格的、不随条件转移的

那么都存在类似斐波那契数列的优化，时间复杂度都能优化成O(logN)

题目一

斐波那契数列矩阵乘法方式的实现

// O(logN)
public static int f3(int n) {
    if (n < 1) {
        return 0;
    }
    if (n == 1 || n == 2) {
        return 1;
    }
    // [ 1 ,1 ]
    // [ 1, 0 ]
    int[][] base = {
            {1, 1},
            {1, 0}
    };
    int[][] res = matrixPower(base, n - 2);
    return res[0][0] + res[1][0];
}

public static int[][] matrixPower(int[][] m, int p) {
    int[][] res = new int[m.length][m[0].length];
    for (int i = 0; i < res.length; i++) {
        res[i][i] = 1;
    }
    // res = 矩阵中的1
    int[][] t = m;// 矩阵1次方
    for (; p != 0; p >>= 1) {
        if ((p & 1) != 0) {
            res = muliMatrix(res, t);
        }
        t = muliMatrix(t, t);
    }
    return res;
}

// 两个矩阵乘完之后的结果返回
public static int[][] muliMatrix(int[][] m1, int[][] m2) {
    int[][] res = new int[m1.length][m2[0].length];
    for (int i = 0; i < m1.length; i++) {
        for (int j = 0; j < m2[0].length; j++) {
            for (int k = 0; k < m2.length; k++) {
                res[i][j] += m1[i][k] * m2[k][j];
            }
        }
    }
    return res;
}

题目二

一个人可以一次往上迈1个台阶，也可以迈2个台阶 返回这个人迈上N级台阶的方法数

public static int getNum3(int n) {
    if (n < 1) {
        return 0;
    }
    if (n == 1 || n == 2) {
        return n;
    }
    int[][] base = {{1, 1}, {1, 0}};
    int[][] res = matrixPower(base, n - 2);
    return 2 * res[0][0] + res[1][0];
}

public static int[][] matrixPower(int[][] m, int p) {
    int[][] res = new int[m.length][m[0].length];
    for (int i = 0; i < res.length; i++) {
        res[i][i] = 1;
    }
    int[][] tmp = m;
    for (; p != 0; p >>= 1) {
        if ((p & 1) != 0) {
            res = muliMatrix(res, tmp);
        }
        tmp = muliMatrix(tmp, tmp);
    }
    return res;
}

public static int[][] muliMatrix(int[][] m1, int[][] m2) {
    int[][] res = new int[m1.length][m2[0].length];
    for (int i = 0; i < m1.length; i++) {
        for (int j = 0; j < m2[0].length; j++) {
            for (int k = 0; k < m2.length; k++) {
                res[i][j] += m1[i][k] * m2[k][j];
            }
        }
    }
    return res;
}