647 回文子串

✍手写分析

动规五部曲分析

动规五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

绝大部分的序列题，在定义dp数组的时候 很自然就会想题目求什么，我们就如何定义dp数组。
但本题如果我们定义，dp[i] 为 下标i结尾的字符串有 dp[i]个回文串的话，我们会发现很难找到递归关系。
dp[i] 和 dp[i-1] ，dp[i + 1] 看上去都没啥关系。
所以我们要看回文串的性质。 如图：

我们在判断字符串S是否是回文，那么如果我们知道 s[1]，s[2]，s[3] 这个子串是回文的，那么只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同，如果相同的话，这个字符串s 就是回文串。
那么此时我们找到一种递归关系，也就是判断一个子字符串（字符串的下表范围[i,j]）是否回文，依赖于，子字符串（下表范围[i + 1, j - 1]）） 是否是回文。
所以为了明确这种递归关系，我们的dp数组是要定义成一位二维dp数组。
布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。

2. 确定递推公式

在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。
整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。
当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。
当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况

• 情况一：下标 i 与 j 相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
• 情况二：下标i 与 j相差为2以内，例如aa，axa，也是回文子串
• 情况三：下标：i 与 j相差大于2的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，需要往回缩，看看是否是回文。 我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

以上三种情况分析完了，那么递归公式如下：

if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
    if (j - i <= 2) {
        dp[i][j] = true;
        result++;
    } else if (dp[i + 1][j - 1]) {
        dp[i][j] = true;
        result++;
    }
}

result就是统计回文子串的数量。
（注意这里没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，因为在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false）

3. dp数组如何初始化

dp[i][j]可以初始化为true么？ 当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。
所以dp[i][j]初始化为false。

4. 确定遍历顺序

遍历顺序可有有点讲究了。
首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。
dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：

如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。
所以一定要从下到上，从左到右遍历(倒序)，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
代码如下：

for (int i = s.length() - 1; i >= 0; i--) {
    for (int j = i; j < s.length(); j++) {
        if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
            if (j - i <= 2) {
                dp[i][j] = true;
                result++;
            } else if (dp[i + 1][j - 1]) {
                dp[i][j] = true;
                result++;
            }
        }
    }
}

5. 举例推导dp数组

举例，输入："aaa"，dp[i][j]状态如下：

图中有6个true，所以就是有6个回文子串。
注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。
以上分析完毕，代码如下：

public int countSubstrings(String s) {
	boolean[][] dp = new boolean[s.length()][s.length()];
	int result = 0;
	
	for (int i = s.length() - 1; i >= 0; i--) {
	    for (int j = i; j < s.length(); j++) {
	        if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
	            if (j - i <= 2) {
	                dp[i][j] = true;
	                result++;
	            } else if (dp[i + 1][j - 1]) {
	                dp[i][j] = true;
	                result++;
	            }
	        }
	    }
	}
	return result;
}

以上代码是为了凸显情况一二三的区别，当然是可以简洁一下的，如下：

public int countSubstrings(String s) {
	boolean[][] dp = new boolean[s.length()][s.length()];
	int result = 0;
	
	for (int i = s.length() - 1; i >= 0; i--) {
	    for (int j = i; j < s.length(); j++) {
	        if (s.charAt(i) == s.charAt(j) && (j - i <= 2 || dp[i + 1][j - 1])) {
	            dp[i][j] = true;
	            result++;
	        }
	    }
	}
	return result;
}

• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(n^2)

516 最长回文子序列

区别于上一题要求连续，本题不要求连续

## ✍手写分析  ## 动规五部曲分析

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。

2. 确定递推公式

在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。
如果s[i]与s[j]相同，算上s[i] 与 s[j]长度上加2，即dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
如图：
（如果这里看不懂，回忆一下dp[i][j]的定义）
如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]其中一个看看哪一个可以组成最长的回文子序列。
**加入s[j]**的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。
**加入s[i]**的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。
那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

代码如下：

if (s.charAt(i) == s.charAt(j))
    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
else dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

3. dp数组如何初始化

对于单个元素本身就是长度为1的回文序列，因此dp[i][i] = 1
其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。

int[][] dp = new int[len][len];
for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;

4. 确定遍历顺序

从递归公式中，可以看出，dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ，dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1]，如图：

所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。
j的话，可以正常从左向右遍历(倒序)。
代码如下：

for (int i = len - 1; i >= 0;i--){
    dp[i][i] = 1;
    for (int j = i + 1; j < len; j++){
        if (s.charAt(i) == s.charAt(j))
            dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
        else dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
    }
}

5. 举例推导dp数组

输入s:"cbbd" 为例，dp数组状态如图：

红色框即：dp[0][s.size() - 1]; 为最终结果。
以上分析完毕，代码如下：

public int longestPalindromeSubseq(String s) {
    int len = s.length();
    int[][] dp = new int[len][len];
    for (int i = len - 1; i >= 0;i--){
        dp[i][i] = 1;
        for (int j = i + 1; j < len; j++){
            if (s.charAt(i) == s.charAt(j))
                dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
            else dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
        }
    
    return dp[0][len - 1];
}

• 时间复杂度: O(n^2)
• 空间复杂度: O(n^2)

学习资料：

647. 回文子串

516.最长回文子序列