前言

这也是一道来自leetcode的题目，要求我们在不使用各个语言内置sqrt()函数的情况下对一个数开平方根，最后的结果向下取整。刚开始我对这道题目只能说是毫无思路了，后来还是评论区大神给我指了一条明路。这道题本质上是一个数学题。

leetcode原题

这个链接是leetcode的原题： leetcode.com/problems/sq…
这道题的Level是Easy，这其实是因为找到数学方法之后这道题的代码非常好写。

Newton's Method

这道题的解法就是这个部分的标题，Newton's Method。
牛顿法，也被称为牛顿-拉弗森方法。这个方法其实也被用于机器学习中对参数的优化，速度快过常用的梯度下降法，但是也有一些限制。
牛顿法可以用来求当$f(x) = 0$时$x$的值。
它的基本公式长这个样子：

当然，这是经过推导的公式，推导过程大家可以自行搜索。
我们的任务就是找出一个$f(x)$来使用这个公式。
根据题目，我们要做的是求解一个$r$,作为$\sqrt{x}$的解，由此可得$\sqrt{x} = r$。
如果我们给两边同时平方，就可得$x = r^2$，我们接下来再变换一下$x$的位置就可得$r^2 - x = 0$。
这时，我们的$f(r)$就是$r^2 - x$，我们要做的就是求得$f(r) = r^2 - x = 0$时$x$的值。

首先我们要先求得$f'(r)$。
根据我们上面的公式易得$f'(r) = 2r$
随后将$f'(r)$和$f(r)$带入我们上面的牛顿公式，就可得下列等式：

我们随后将右边的分式进行变换可得：

再对式子进行整理就可得最终公式：

最后一步就是将这个公式用代码写出来，可以使用迭代循环来写。由于我们每次求得r都是向下取整，所以我们的判断循环终止的条件就是当r*r = 0时。