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Measures of Distance Between Probability Distributions的学习大纲

1：简介

在前面的示例中，估计是一个相对简单的任务。例如，在“亲吻”的例子中，我们通过比例估计了概率。这些方法在很大程度上都是自然而然的，也是由大数定律所证明的。此外，还存在一些系统性的方法，可以产生比自然估计方法更好的估计量。

2：最大似然估计的引入

在这一单元中，我们将会学习一个非常强大的方法，即最大似然估计。它可以通过估计候选分布与生成数据的分布之间的距离来导出。特别地，我们将会关注概率分布之间的Kullback-Leibler散度作为距离的度量，从而了解如何推导出最大似然估计量。由于这是一个最大化问题，我们需要了解如何最大化一个函数。同时，我们还将复习一些分析和微积分的重要概念，如凸函数和凹函数、梯度以及海森矩阵。

3：最大似然估计的特点

最大似然估计器的特别之处在于，即使在不知道其精确形式的情况下，我们也可以研究其统计性质，包括置信区间。通常情况下，这是最佳的估计方法，在这个意义上，它是统计学中最重要的估计方法之一。尽管它通常是最佳方法，但最大似然估计也存在一些限制，比如在计算上的复杂性或对部分受损数据的鲁棒性不足。

4：其他估计方法的比较

我们还将学习其他流行的方法，例如矩估计法和更一般的M-估计法，并将它们与最大似然估计进行比较。

5：课程目标

在本单元的结尾，你将能够为复杂的统计模型计算估计值，即使在没有明显自然估计方法的情况下，也能以统一的方式理解它们的统计性质。

统计学高级课程考试总分：100分

这个考试涵盖了从基础概念到高级应用的广泛内容

题目一：基础概念和最大似然估计 (20分)

详细解释大数定律是什么，以及它与估计方法之间的关系。
什么是最大似然估计？从数学的角度解释它的基本原理，并说明如何通过最大似然估计得到参数的值。
介绍Kullback-Leibler散度是什么，以及它在最大似然估计中的作用。

题目二：最优化和分析概念 (25分)

解释函数的凸性和凹性。如何通过二阶导数来判断一个函数是凸函数还是凹函数？
什么是梯度和海森矩阵？在最大似然估计中，为什么对于最大化函数来说，梯度和海森矩阵是重要的？
如果你需要最大化一个非凸函数，你会采取什么策略？请描述可能的方法并解释其原理。

题目三：最大似然估计的应用和局限性 (30分)

最大似然估计为什么在统计学中如此重要？举例说明它在哪些实际问题中的应用。
什么是置信区间？最大似然估计如何帮助计算置信区间，即使我们不知道估计量的精确分布？
最大似然估计有哪些局限性？讨论计算复杂性和数据鲁棒性方面可能出现的问题，并提出应对策略。

题目四：估计方法比较与综合应用 (25分)

简要比较最大似然估计、矩估计法和M-估计法。根据应用场景，列举适用于每种方法的情况。
在没有明显自然估计方法的情况下，为什么最大似然估计在复杂统计模型中仍然有用？举例说明一个这样的复杂模型，并解释如何应用最大似然估计。

先修课程:

概率分布简介：了解基本的概率分布类型和其属性。
信息论基础：介绍熵和相对熵的概念。
极大似然估计基础：理解如何使用极大似然估计来估计参数。

主要课程:

Total Variation Distance 简介：讲解Total Variation Distance的定义和性质。
Kullback-Leibler (KL) divergence 简介：介绍KL divergence的定义、性质和计算方法。
两种分布之间的Total Variation Distance和KL divergence的计算。
使用KL divergence推导出的最大似然原理。
离散分布的似然性定义和计算。

主要课程

首先，我们将探讨 Total Variation Distance。

Total Variation Distance (TVD) 是衡量两个概率分布之间差异的一种方法。它定义为两个概率分布的最大概率差异的一半。

具体来说，如果 $P$ 和 $Q$ 是两个定义在相同样本空间的概率分布，则它们之间的TVD定义为

TVD(P,Q)=\frac12\sum_x|P(x)-Q(x)|

这里，和是在所有可能的事件 $x$ 上取的。

🤔问题: 为什么我们需要除以2呢？

接下来，我们将讨论 Kullback-Leibler (KL) divergence。

Kulback-Leibler (KL)散度是另一种衡量两个概率分布之间差异的方法。与Total Variatior Distance不同，KL散度不是一个对称的度量，这意味着 $KL(P||Q)$ 不等于 $KL(Q||P)$

具体来说，如果 $P$ 和 $Q$ 是两个定义在相同样本空间的概率分布，且 $Q(x)$ 对所有 $x$ 都不天0，则 $P$ 和 $Q$ 之间的KL散度定义为:

KL(P||Q)=\sum_xP(x)\log\left(\frac{P(x)}{Q(x)}\right)

其中，和是在所有可能的事件 $x$ 上取的

🤔问题: 为什么说KL散度不是一个对称的度量？

现在，我们将使用KL散度推导 最大似然原理。

最大似然原理是估计概率模型参数的一种方法。基本思想是找到一组参数，使得观察到的数据出现的可能性最大。

考虑一个参数为 $\theta$ 的概率分布 $P_{\theta}$ 和一个固定的数据分布 $Q$ 。我们可以使用KL散度来衡量这两个分布之间的差异：

KL(Q||P_\theta)=\sum_xQ(x)\log\left(\frac{Q(x)}{P_\theta(x)}\right)

为了找到最佳的 $\theta$ ，我们可以尝试最小化上述KL散度。

但是，由于 $Q(x)$ 是固定的数据分布，因此它不依赖于 $\theta$ 。因此，最小化KL散度与最大化以下的似然函数是等价的：

L(\theta)=\sum_xQ(x)\log P_\theta(x)

这就是最大似然估计的基础。

🤔问题: 为什么我们要最大化似然函数而不是直接最小化KL散度？

最后，我们将定义并计算一个离散分布的似然性。

对于离散分布，似然函数表示给定一组参数 $\theta$ 下数据出现的可能性。具体来说，假设我们有一个数据集 $D$ 包含 $n$ 个独立观察值，这些值来自于概率分布 $P_{\theta}$ 。那么，数据集 $D$ 的似然函数为：

L(\theta;D)=\prod_{i=1}^nP_\theta(x_i)

其中， $x_{i}$ 是数据集中的第 $i$ 个观察值。

通常，为了简化计算和解释，我们会考虑似然函数的对数，称为对数似然：

\log L(\theta;D)=\sum_{i=1}^n\log P_\theta(x_i)

对数似然的一个主要好处是，它将似然函数中的乘积转换为了和，这在数学上更容易处理。

🤔问题: 在什么情况下，对数似然比原始的似然函数更有用？

估计方法、最大似然估计以及统计学中的一些重要概念 | Fundamentals of Statistics