三角函数公式备忘

三角函数公式包括和差角公式、和差化积公式、积化和差公式、倍角公式、诱导公式等。

三角函数是五大基本初等函数之一，初高中都有涉及。 三角函数的定义式 任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。三角函数系列主要有正弦sin、余弦cos、正切tan、余切cot、正割sec、余割csc六大比值。
中学阶段引入三角函数一般是在直角坐标系上绘制的单位圆中。
$sin\theta=\cfrac{y}{r}$
$cos\theta=\cfrac{x}{r}$
$tan\theta=\cfrac{y}{x}$
$cot\theta=\cfrac{x}{y}$
$sec\theta=\cfrac{r}{x}$
$csc\theta=\cfrac{r}{y}$

倒数关系的公式
$tan\alpha\cot\alpha=1$
$sin\alpha\csc\alpha=1$
$cos\alpha\sec\alpha=1$

商数关系的公式
$tan\alpha=\cfrac{sin\alpha}{cos\alpha}$
$cot\alpha=\cfrac{cos\alpha}{sin\alpha}$

平方关系的公式
$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1$
$1+cot^2\alpha=csc^2\alpha$
$1+tan^2\alpha=sec^2\alpha$

诱导公式
公式1：设$\alpha$为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等
公式2：设$\alpha$为任意角，$\pi+\alpha$的三角函数值与$\alpha$的三角函数值之间的关系
公式3：任意角$\alpha$与-$\alpha$的三角函数之间的关系

和差化积公式，角度的和差转变为角度的积的和差，有二角和差公式、三角和差公式
符号口诀：正弦和差前后同号，余弦和差前后异号
二角和差公式：
$cos(\alpha+\beta)=cos\alpha\cos\beta - sin\alpha\sin\beta$
$cos(\alpha-\beta)=cos\alpha\cos\beta + sin\alpha\sin\beta$
$sin(\alpha\pm\beta)=sin\alpha\cos\beta \pm cos\alpha\sin\beta$

积化和差公式
$sin\alpha\cos\beta = \cfrac{sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta)}{2}$
$cos\alpha\sin\beta=\cfrac{sin(\alpha+\beta) - sin(\alpha-\beta)}{2}$
$cos\alpha\cos\beta=\cfrac{cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)}{2}$
$sin\alpha\sin\beta=\cfrac{cos(\alpha+\beta)-cos(\alpha-\beta)}{2}$

和差化积公式
$sin\alpha + sin\beta = 2sin\cfrac{\alpha+\beta}{2}cos\cfrac{\alpha-\beta}{2}$
$sin\alpha - sin\beta = 2cos\cfrac{\alpha+\beta}{2}sin\cfrac{\alpha-\beta}{2}$
$cos\alpha + cos\beta = 2cos\cfrac{\alpha+\beta}{2}cos\cfrac{\alpha-\beta}{2}$
$cos\alpha - cos\beta = -2sin\cfrac{\alpha+\beta}{2}sin\cfrac{\alpha-\beta}{2}$

倍角公式，处理任意倍数角的三角函数值，常见的有二倍角公式、三倍角公式、四倍角公式、五倍角公式、半角公式等 二倍角公式
$sin2\alpha=sin\alpha\cos\alpha+sin\alpha\cos\alpha=2sin\alpha\cos\alpha$
$cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha=2cos^2\alpha-1=1-2sin^2\alpha$
$tan2\alpha=\cfrac{2\tan\alpha}{1-tan^2\alpha}$

余弦定理，处理边长和角度的关系，角的对边与角的临边的关系
$a^2 = b^2+c^2-2bc\cos\alpha$
$b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta$
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$

三角函数公式计算面积
三角形的面积等于两临边及其夹角正弦值的乘积的一半。