算法简介（续）1.3.4 一些常见的大O 运行时间下面按从快到慢的顺序列出了你经常会遇到的5种大O运行时间。假设你要

1.3.4 一些常见的大O

运行时间下面按从快到慢的顺序列出了你经常会遇到的5种大O运行时间。

O(log n)，也叫对数时间，这样的算法包括二分查找。
O(n)，也叫线性时间，这样的算法包括简单查找。
O(n * log n)，这样的算法包括第4章将介绍的快速排序——一种速度较快的排序算法。
O(n2 )，这样的算法包括第2章将介绍的选择排序——一种速度较慢的排序算法。
O(n!)，这样的算法包括接下来将介绍的旅行商问题的解决方案——一种非常慢的算法。

假设你要绘制一个包含16格的网格，且有5种不同的算法可供选择，这些算法的运行时间如上所示。如果你选择第一种算法，绘制该网格所需的操作数将为4（log 16 = 4）。假设你每秒可执行10次操作，那么绘制该网格需要0.4秒。如果要绘制一个包含1024格的网格呢？这需要执行10 （log 1024 = 10）次操作，换言之，绘制这样的网格需要1秒。这是使用第一种算法的情况。

第二种算法更慢，其运行时间为O(n)。即要绘制16个格子，需要执行16次操作；要绘制1024 个格子，需要执行1024次操作。执行这些操作需要多少秒呢？

下面按从快到慢的顺序列出了使用这些算法绘制网格所需的时间：

还有其他的运行时间，但这5种是最常见的。

这里做了简化，实际上，并不能如此干净利索地将大O运行时间转换为操作数，但就目前而言，这种准确度足够了。等你学习其他一些算法后，第4章将回过头来再次讨论大O表示法。当前，我们获得的主要启示如下。

阅读前一节时，你可能认为根本就没有运行时间为O(n!)的算法。让我来证明你错了！下面就是一个运行时间极长的算法。这个算法要解决的是计算机科学领域非常著名的旅行商问题，其计算时间增加得非常快，而有些非常聪明的人都认为没有改进空间。

有一位旅行商。

他需要前往5个城市。

这位旅行商（姑且称之为Opus吧）要前往这5个城市，同时要确保旅程最短。为此，可考虑前往这些城市的各种可能顺序。

对于每种顺序，他都计算总旅程，再挑选出旅程最短的路线。5个城市有120种不同的排列方式。因此，在涉及5个城市时，解决这个问题需要执行120次操作。涉及6个城市时，需要执行720 次操作（有720种不同的排列方式）。涉及7个城市时，需要执行5040次操作！

推而广之，涉及n个城市时，需要执行n!（n的阶乘）次操作才能计算出结果。因此运行时间为O(n!)，即阶乘时间。除非涉及的城市数很少，否则需要执行非常多的操作。如果涉及的城市数超过100，根本就不能在合理的时间内计算出结果——等你计算出结果，太阳都没了。

这种算法很糟糕！Opus应使用别的算法，可他别无选择。这是计算机科学领域待解的问题之一。对于这个问题，目前还没有找到更快的算法，有些很聪明的人认为这个问题根本就没有更巧妙的算法。面对这个问题，我们能做的只是去找出近似答案，更详细的信息请参阅第10章。

最后需要指出的一点是，高水平的读者可研究一下二叉树，这在最后一章做了简要的介绍。

 二分查找的速度比简单查找快得多。

 O(log n)比O(n)快。需要搜索的元素越多，前者比后者就快得越多。

 算法运行时间并不以秒为单位。

 算法运行时间是从其增速的角度度量的。

 算法运行时间用大O表示法表示。