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Uniswap V3

Uniswap V3 的改进

提高资金利用率**（集中流动性，即只针对某一个范围做流动性，而不是从无穷小到无穷大都做流动性）**，增加 LP 深度
增强价格预言机的方便性和准确性
灵活的手续费收取机制（0.05% / 0.3% / 1%）

Uniswap V2 的资金利用率

在这里插入图片描述

在 V2 中，当我们想要做流动性时需要添加 x 和 y 数量的代币才能实现，但实际参与点到池子流动性的代币数量只有 $x_{real}$ 和 $y_{real}$ ，除去这两个部分的资金部分一直都没有被使用到，因此在 V2 当中资金利用率不算很高

示例

在这里插入图片描述

假设当前处于 c 点的位置，x 表示 ETH，y 表示 DAI，两者的价格在 a 到 b 的范围内波动，在 V2 当中我们需要在 c 点投入 10 ETH 和 200 DAI，而在 V3 当中我们只需要在 c 点投入 $x_{real}$ 和 $y_{real}$ 数量即 5 ETH 和 100 DAI，此时资金的利用率翻了一倍

流动性提供的方式

在这里插入图片描述

在 V2 中提供流动性是可以从 0 到无穷进行提供，但代币的价格从 0 到无穷大的范围内波动的概率很低，一般只会在一个小的范围内波动。所以 V3 允许用户只在某一个小范围区间提供流动性，如图Ⅱ。当多个用户都在自己设定的小范围区间提供流动性时，系统的流动性会变成图Ⅲ

提供 LP 作为限价订单

我们可以像在中心化交易所那样通过做 LP 来做限价订单，区别在于中心化交易所的限价订单的价格是固定的，而 Uniswap 则需要你提供一个小范围

还是以前面的图为例，比如当前 ETH 价格在 c 点，我们预测 ETH 会跌即向 a 点移动，此时我们只需要提供 $y_{real}$ 数量的 DAI，而不用提供 $x_{real}$ 数量的 ETH。当 ETH 跌到超过 a 点的位置，我们投入的 DAI 便会全部换成 ETH，但如果 ETH 的价格又回到了超过了 a 点的位置，那么我们手里的 ETH 会全部换回 DAI

应用场景

稳定币的兑换（0.99 — 1.01）
Interest-bearing ASSET：xSushi/Sushi 等
固定收益债券
IDO
保险

影响

波动比例大 （ $\frac{\Delta x}{x}$ 和 $\frac{\Delta y}{y}$ ，我们在 Uniswap V3 中提供的 x 和 y 都比较小，所以波动比例大）
无常损失高
LP 挖矿实现机制的更改
手续费计算复杂
LP Token：ERC20 → ERC721

Virtual Reserves

在这里插入图片描述

Virtual Reserves 其实就是前面我们所提到的在 V2 当中没有被利用到的资金量即 $x_v$ 和 $y_v$

由上图我们可以推导出

\begin{align} &x*y=k=L^2 \Rightarrow L=\sqrt{k} \\ &x=x_{real}+x_v \\ &y=y_{real}+y_v \end{align}

给定 a，b，L 的情况下，求 $x_v$ 和 $y_v$ ，此时我们已经得知

\left\{ \begin{aligned} & x*y=L^2 \\ & P=\frac{y}{x} \end{aligned} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=\frac{L}{\sqrt{P}} \\ & y=L*\sqrt{P} \end{aligned} \right.

在 b 点，其为范围的上限，此时 $x_{real}=0$ ，所以

x=x_{real}+x_v=\frac{L}{\sqrt{P_b}} \Rightarrow x_v=\frac{L}{\sqrt{P_b}}

在 a 点，其为范围的下限，此时 $y_{real}=0$ ，所以

y=y_{real}+y_v=L*\sqrt{P_a} \Rightarrow y_v=L*\sqrt{P_a}

将 $x_v$ 和 $y_v$ 代入 (6) 可得

\begin{aligned} (x_{real}+x_v)*(y_{real}+y_v)=L^2 \\ (x_{real}+\frac{L}{\sqrt{P_b}})*(y_{real}+L*\sqrt{P_a})=L^2 \end{aligned}

根据最后得出的公式，我们可以得到下面的图：

在这里插入图片描述

虚拟流动性案例分析

在这里插入图片描述

注意：因为 $P$ 是使用 $\frac{y}{x}$ 来计算的，所以 $P$ 的单位应该是 DAI / ETH 即一个 ETH 等于多少 DAI

当前价格在 c 点，求 $x_v$ 和 $y_v$

\begin{aligned} &x_v=\frac{L}{P_b}=\frac{20\sqrt{10}}{\sqrt{16000}}=0.5 ETH \\ &y_v=L*\sqrt{P_a}=20\sqrt{10}*\sqrt{1000}=2000 DAI \end{aligned}

在 c 点， $\frac{y_{real}}{x_{real}}=4000$ 的时候，求 $x_{real}$ 和 $y_{real}$

\left\{ \begin{aligned} &(x_{real}+0.5)*(y_{real}+2000)=4000 \\ &\frac{y_{real}}{x_{real}}=4000 \end{aligned} \right . \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} &x_{real}=0.5 \\ &y_{real}=2000 \end{aligned} \right .

在 b 点， $\frac{y_{real}}{x_{real}}=8000$ 的时候，求 $x_{real}$ 和 $y_{real}$

\begin{aligned} &x=x_{real}+x_v \Rightarrow 0.5=x_{real}+0.5 \Rightarrow x_{real}=0 ETH \\ &y=y_{real}+y_v \Rightarrow 8000=y_{real}+2000 \Rightarrow y_{real}=6000 DAI \end{aligned}

在 a 点， $\frac{y_{real}}{x_{real}}=2000$ 的时候，求 $x_{real}$ 和 $y_{real}$

\begin{aligned} &x=x_{real}+x_v \Rightarrow 2=x_{real}+0.5 \Rightarrow x_{real}=1.5 ETH \\ &y=y_{real}+y_v \Rightarrow 2000=y_{real}+2000 \Rightarrow y_{real}=0 DAI \end{aligned}

如果降到 a 点，移除流动性，会得到多少 x 和 y？

在 a 点 $(x_r,y_r)$ 为 $(1.5,0)$ ，相当于以均价 $\frac{6000}{1.5}=4000$ 的价格把 6000 个 DAI 换成了 1.5 个 ETH，如果缩小 a，b 点的距离，一定程度上起到了限价订单的作用

假设当前市价为 c 点，用户在超过 a 点或 b 点的位置添加流动性时，只需要添加其中一种代币而不需要同时添加两种代币（具体原因会在后面进行分析）

在超过 a 点的位置表示当前 ETH 价格降低，此时用户只需要投入 DAI。这里我们可以理解为用户预估 ETH 价格会跌，所以想要在超过 a 点的位置做流动性，当 ETH 价格到达该位置时，用户之前所投入的 DAI 将会自动换成 ETH，也就是所谓的“低吸”
在超过 b 点的位置表示当前 ETH 价格增加，此时用户只需要投入 ETH。这里我们可以理解为用户预估 ETH 价格会涨，所以想要在超过 b 点的位置做流动性，当 ETH 价格到达该位置时，用户之前所投入的 ETH 将会自动换成 DAI，也就是所谓的“高抛”

在这里插入图片描述

不同价格区间，流动性 L 和 $x_r$ 和 $y_r$ 的关系

在 Uniswap V2 中，如果想在 c 点添加流动性，需要提供 $(1,4000)$ 。在 Uniswap V3 中，同样的流动性曲线，只需要真实提供 $(0.5,2000)$ ，便可以在 a，b 点之间达到同样的 k 值 $(k=x*y)$ 。如果在 V3 中，真实提供 $(1,4000)$ 。那么 k 值 $(k=L^2)$ 会如何变化呢？

在这里插入图片描述

注：图中的 $x_r$ 和 $y_r$ 是 a 点和 b 点减去 Virtual Reserves 的结果

如果在价格 $P \le P_a$ 时，提供流动性，k 值（L 值会如何变化？）

当 $P \le P_a$ 时， $y_r=0$

\begin{aligned} (x_r+\frac{L}{\sqrt{P_b}})*L\sqrt{P_a} &= L^2 \\ x_r+\frac{L}{\sqrt{P_b}} &= \frac{L}{\sqrt{P_a}} \\ x_r=L*(\frac{1}{\sqrt{P_a}}-\frac{1}{\sqrt{P_a}}) &= L*\frac{\sqrt{P_b}-\sqrt{P_a}}{\sqrt{P_a}*\sqrt{P_b}} \\ L &= x_r*\frac{\sqrt{P_a}*\sqrt{P_b}}{\sqrt{P_b}-\sqrt{P_a}} \end{aligned}

故两者关系为：当 $x_r$ 变大，L 也变大

在这里插入图片描述

如果在价格 $P \ge P_b$ 时，提供流动性，k 值（L 值会如何变化？）

当 $P \ge P_b$ 时， $x_r=0$

\begin{aligned} \frac{L}{\sqrt{P_b}}*(y_r+L\sqrt{P_a}) &= L^2 \\ y_r+L\sqrt{P_a} &= L*\sqrt{P_b} \\ y_r &= L*(\sqrt{P_b}-\sqrt{P_a}) \\ L &= \frac{y_r}{\sqrt{P_b}-\sqrt{P_a}} \end{aligned}

故两者关系为：当 $y_r$ 变大，L 也变大

在这里插入图片描述

当 $P_a \lt P \lt P_b$ 时，提供流动性，k 值（L 值会如何变化？）

当 P 处于 $P_a$ 和 $P_b$ 之间的任意一点， $x_r$ 和 $y_r$ 对于维护 $[P_a,P_b]$ 之间的流动性贡献是一样的**（因为他们处于同一条曲线，故两者流动性相同）**

在这里插入图片描述

先计算 $（P,P_b）$ 价格之间，单纯由 $x_r$ 贡献的流动性

L=x_r*\frac{\sqrt{P_a}*\sqrt{P_b}}{\sqrt{P_b}-\sqrt{P_a}} =x_r*\frac{\sqrt{P}*\sqrt{P_b}}{\sqrt{P_b}-\sqrt{P}}

再计算 $（P_a,P）$ 价格之间，单纯由 $y_r$ 贡献的流动性

L=\frac{y_r}{\sqrt{P_b}-\sqrt{P_a}} =\frac{y_r}{\sqrt{P}-\sqrt{P_a}}

所以

L =x_r*\frac{\sqrt{P}*\sqrt{P_b}}{\sqrt{P_b}-\sqrt{P}} =\frac{y_r}{\sqrt{P}-\sqrt{P_a}}

案例解析（以虚拟流动性案例分析中的例子为例）

$P_a=1000,P_b=16000,P=4000$

当 $P=P_a$ 时， $(x_r,y_r)=(1.5,0)$

\begin{aligned} L &= x_r*\frac{\sqrt{P_a}*\sqrt{P_b}}{\sqrt{P_b}-\sqrt{P_a}} \\ &= 1.5*\frac{\sqrt{1000}*\sqrt{16000}}{\sqrt{16000}-\sqrt{1000}} \\ &= 1.5*\frac{\sqrt{16000}}{\sqrt{16}-1} \\ &= 0.5*40\sqrt{10} \\ &= 20\sqrt{10} \end{aligned}

当 $P=P_b$ 时， $(x_r,y_r)=(0,6000)$

\begin{aligned} L &= \frac{y_r}{\sqrt{P_b}-\sqrt{P_a}} \\ &= \frac{6000}{\sqrt{16000}-\sqrt{1000}} \\ &= \frac{6000}{30\sqrt{10}} \\ &= 20\sqrt{10} \end{aligned}

当 $P=P_c$ 时， $(x_r,y_r)=(0.5,2000)$

\begin{aligned} L &= \frac{x_r*\sqrt{P}*\sqrt{P_b}}{\sqrt{P_b}-\sqrt{P}} \\ &= \frac{0.5*\sqrt{4000}*\sqrt{16000}}{\sqrt{16000}-\sqrt{4000}} \\ &= \frac{0.5*\sqrt{16000}}{\sqrt{4}-1} \\ &= 0.5*40\sqrt{10} \\ &= 20\sqrt{10} \end{aligned}

\begin{aligned} L &= \frac{y_r}{\sqrt{P}-\sqrt{P_a}} \\ &= \frac{2000}{\sqrt{4000}-\sqrt{1000}} \\ &= \frac{6000}{20\sqrt{10}-10\sqrt{10}} \\ &= \frac{200}{\sqrt{10}} \\ &= 20\sqrt{10} \end{aligned}

因此，我们回到最开始的那个问题

如果在 V3 中，真实提供 $(1,4000)$ 。那么 k 值 $(k=L^2)$ 会如何变化呢？

即在 $P=4000$ ， $(P_a,P_b)=(1000,16000)$ ， $(x_r,y_r)=(1,4000)$ 的情况下，求 L

L = \frac{x_r*\sqrt{P}*\sqrt{P_b}}{\sqrt{P_b}-\sqrt{P}} = \frac{1*\sqrt{4000}*\sqrt{16000}}{\sqrt{16000}-\sqrt{4000}} = \frac{1*\sqrt{16000}}{\sqrt{4}-1} = 40\sqrt{10}

Uniswap V3 无常损失的计算

在这里插入图片描述

仍然以图中的这个数据来进行举例计算，分别计算当用户在 c 点添加 $(1,4000)$ 的流动性且价格从 c 点变到 a 点时 V2，V3 中的无常损失

在 Uniswap V2 中

\begin{aligned} V_c &= 1*4000+4000=8000 \\ V_{hodl} &= 1*1000+4000=5000 \\ V_2 &= 2*1000+2000=4000 \\ \therefore V2中 & 无常损失为(V_{hodl}-V_2)=1000 \end{aligned}

在 Uniswap V3 中，因为 V3 多了一个 Virtual Reserves 及其曲线与 V2 也有差异，在 V2 添加的流动性数量同样添加到 V3 中会有更大的影响，因此我们必需先计算出该 V3 曲线的 $x_v,y_v$ ，再去反推某个点上的 $x_r,y_r$ ，最后才进行价格的计算

在 c 点 $(x_r,y_r)=(1,4000)$ ，先求 $x_v,y_v$

\begin{aligned} x_v &= \frac{L}{\sqrt{P_b}}=\frac{40\sqrt{10}}{\sqrt{16000}}=1 \\ y_v &= L*\sqrt{P_a}=40\sqrt{10}*\sqrt{1000}=4000 \end{aligned}

由此可得实际曲线为：

在这里插入图片描述

在 a 点

\left\{ \begin{aligned} x &= x_r+x_v \\ y &= y_r+y_v \end{aligned} \right . \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} 4 &= x_r+1 \\ 4000 &= y_r+4000 \end{aligned} \right . \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} x_r &= 3 \\ y_r &= 0 \end{aligned} \right . \\ \begin{aligned} V_3 &= 3*1000=3000 \\ V_{hodl} &= 1*1000+4000=5000 \\ \therefore V3中 & 无常损失为(V_{hodl}-V_3)=2000 \end{aligned}

由此我们可以看出，Uniswap V3 的无常损失更大

我们再将其抽象为更通用的模型：

在这里插入图片描述

前提条件

\left\{ \begin{aligned} & x*y=k \\ & P=\frac{y}{x} \end{aligned} \right . \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{P}} \\ & y=\sqrt{k}*\sqrt{P} \end{aligned} \right .

\begin{aligned} 在V3中 \\ x_v &= \frac{L}{\sqrt{P_b}}=\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{P_b}} \\ y_v &= L*\sqrt{P_a} = \sqrt{k}*\sqrt{P_a} \end{aligned}

假设起始价格 $P_0$ ，变化后的价格 $P_1$ 都满足 $P_0,P_1 \in [P_a,P_b]$ ，求此时的无常损失（无手续费）

$t_0$ 的时候 $(x_0,y_0),P_0=\frac{y_0}{x_0},x_0*y_0=k$

t_0 \left\{ \begin{aligned} & t_1:(x_1,y_1),P_1=\frac{y_1}{x_1} \\ & t_{hodl}:(x_0,y_0),P_1=\frac{y_1}{x_1} \end{aligned} \right . \\ f(d)=\frac{V_1-V_{hodl}}{V_{hodl}}=\frac{V_1}{V_{hodl}}-1

同时在前面我们还计算得到

\begin{aligned} x &= x_{real}+x_v \\ y &= y_{real}+y_v \\ x_1 &= \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{P_1}} \quad y_1 = \sqrt{k}*\sqrt{P_1} \\ x_0 &= \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{P_0}} \quad y_0 = \sqrt{k}*\sqrt{P_0} \end{aligned}

通过上面的这些公式，我们可以计算出

\begin{aligned} V_1 &= x_{real}*P_1+y_{real} \\ &= (x_1-x_v)*P_1+(y_1-y_v) \\ &= (\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{P_1}}-\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{P_b}})*P_1+(\sqrt{k}*\sqrt{P_1}-\sqrt{k}*\sqrt{P_a}) \\ &= 2\sqrt{k}*\sqrt{P_1}-\sqrt{k}*\sqrt{P_a}-\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{P_b}}*P_1 \end{aligned}

\begin{aligned} V_{hodl} &= x_{real}*P_1+y_{real} \\ &= (x_0-x_v)*P_1+(y_0-y_v) \\ &= (\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{P_0}}-\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{P_b}})*P_1+(\sqrt{k}*\sqrt{P_0}-\sqrt{k}*\sqrt{P_a}) \\ &= \sqrt{k}(\frac{1}{\sqrt{P_0}}-\frac{1}{\sqrt{P_b}})*P_1+(\sqrt{P_0}-\sqrt{P_a})*\sqrt{k} \end{aligned}

\begin{aligned} f(d) &= \frac{V_1-V_{hodl}}{V_{hodl}}=\frac{V_1}{V_{hodl}}-1 \\ &= \frac {2\sqrt{k}*\sqrt{P_1}-\sqrt{k}*\sqrt{P_a}-\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{P_b}}*P_1} {\sqrt{k}(\frac{1}{\sqrt{P_0}}-\frac{1}{\sqrt{P_b}})*P_1+(\sqrt{P_0}-\sqrt{P_a})*\sqrt{k}} -1 \\ &= \frac {2\sqrt{P_1}-\sqrt{P_a}-\frac{P_1}{P_b}} {(\frac{1}{\sqrt{P_0}}-\frac{1}{\sqrt{P_b}})*P_1+(\sqrt{P_0}-\sqrt{P_a})} -1 \end{aligned} \tag 1

其他条件不变，假设变化后的价格 $P_1 \lt P_a$ ，计算无常损失

在 $P_1 \lt P_a$ 时， $y_{real}$ 为 0

\begin{aligned} V_1 &= x_{real}*P_1+y_{yeal} \\ &= x_{real}*P_1 \\ &= (\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{P_1}}-\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{P_b}})*P_1 \end{aligned}

\begin{aligned} f(d) &= \frac {(\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{P_1}}-\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{P_b}})*P_1} {\sqrt{k}(\frac{1}{\sqrt{P_0}}-\frac{1}{\sqrt{P_b}})*P_1+(\sqrt{P_0}-\sqrt{P_a})*\sqrt{k}} -1 \\ &= \frac {(\frac{1}{\sqrt{P_1}}-\frac{1}{\sqrt{P_b}})*P_1} {(\frac{1}{\sqrt{P_0}}-\frac{1}{\sqrt{P_b}})*P_1+(\sqrt{P_0}-\sqrt{P_a})} -1 \end{aligned} \tag 2

其他条件不变，假设变化后的价格 $P_1 \gt P_b$ ，计算无常损失

在 $P_1 \gt P_b$ 时， $x_{real}$ 为 0

\begin{aligned} V_1 &= x_{real}*P_1+y_{yeal} \\ &= y_{yeal} =y-y_v\\ &= \sqrt{k}*\sqrt{P_1}-\sqrt{k}*\sqrt{P_a} \end{aligned}

\begin{aligned} f(d) &= \frac {\sqrt{k}*\sqrt{P_1}-\sqrt{k}*\sqrt{P_a}} {\sqrt{k}(\frac{1}{\sqrt{P_0}}-\frac{1}{\sqrt{P_b}})*P_1+(\sqrt{P_0}-\sqrt{P_a})*\sqrt{k}} -1 \\ &= \frac {\sqrt{P_1}-\sqrt{P_a}} {(\frac{1}{\sqrt{P_0}}-\frac{1}{\sqrt{P_b}})*P_1+(\sqrt{P_0}-\sqrt{P_a})} -1 \end{aligned} \tag 3

由 (1) 我们可以得知，当 $P_a$ 趋向于 0， $P_b$ 趋向于 $\infty$ 的时候

\begin{aligned} f(d) &= \frac {2\sqrt{P_1}-\sqrt{P_a}-\frac{P_1}{P_b}} {(\frac{1}{\sqrt{P_0}}-\frac{1}{\sqrt{P_b}})*P_1+(\sqrt{P_0}-\sqrt{P_a})} -1 \\ &= \frac{2\sqrt{P_1}}{\frac{P_1}{\sqrt{P_0}}+\sqrt{P_0}}-1 \\ \because P_1 &= P_0*d,则 \\ f(d) &= \frac{2\sqrt{P_0*d}}{\frac{P_0*d}{\sqrt{P_0}}+\sqrt{P_0}}-1 \\ &= \frac{2\sqrt{d}}{1+d}-1 \end{aligned}

从这看出其与 V2 的公式相同，即说明 V3 的公式推导正确

在这我们说回前面所提到的问题

假设当前市价为 c 点，用户在超过 a 点或 b 点的位置添加流动性时，只需要添加其中一种代币而不需要同时添加两种代币

在这里插入图片描述

V3 与 V2 最大的不同是引进了集中流动性并带来了 Virtual Reserves，当我们在上面的曲线添加流动性时必须要用减去 $x_r,y_r$ 的值之后的曲线再进行计算。否则在原来的曲线进行计算，即使在超过 a 点或 b 点的位置添加流动性，其结果仍会是两种代币都需要添加；而使用减去 $x_r,y_r$ 值之后的曲线进行计算则可以得到正确的结果，因为当处于超过 a 点或 b 点的位置， $x_{real}$ 或 $y_{real}$ 总会有一个超出范围而变为 0（如下两图），即只需要添加一种代币即可