123 买卖股票的最佳时机Ⅲ

条件为：最多买卖两次股票

✍手写分析

思路

本题关键在于至多买卖两次，这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖。
接来下我用动态规划五部曲详细分析一下：

1. 确定dp数组以及下标的含义

一天一共就有五个状态，

• 没有操作 （其实我们也可以不设置这个状态）
• 第一次持有股票
• 第一次不持有股票
• 第二次持有股票
• 第二次不持有股票

dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。
需要注意：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票
例如 dp[i][1] ，并不是说 第i天一定买入股票，有可能 第 i-1天 就买入了，那么 dp[i][1] 延续买入股票的这个状态。

2. 确定递推公式

达到**dp[i][1]**状态，有两个具体操作：

• 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，且持有股票即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]

所以 dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);
同理**dp[i][2]**也有两个操作：

• 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]

所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])
同理可推出剩下状态部分：
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
**dp[i][4] **= max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);

3. dp数组如何初始化

第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;
第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];
第0天做第一次卖出的操作，当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;
第0天第二次买入操作，第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后再买入一次（第二次买入）现金就做相应的减少。所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];
同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;

4. 确定遍历顺序

从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。

5. 举例推导dp数组

以输入[1,2,3,4,5]为例

大家可以看到红色框为最后两次卖出的状态。
现在最大的时候一定是卖出的状态，而两次卖出的状态现金最大一定是最后一次卖出。如果第一次卖出已经是最大值了，那么我们可以在当天立刻买入再立刻卖出。所以dp[4][4]已经包含了dp[4][2]的情况。也就是说第二次卖出手里所剩的钱一定是最多的。
所以最终最大利润是dp[4][4]
以上五部都分析完了，不难写出如下代码：

public int maxProfit(int[] prices) {
    int len = prices.length;
    int[][] dp = new int[len][5];
    dp[0][0] = 0;
    dp[0][1] = -prices[0];
    dp[0][2] = 0;
    dp[0][3] = -prices[0];
    dp[0][4] = 0;

    for (int i = 1; i < len; i++) {
        dp[i][0] = 0;
        dp[i][1] = Math.max(- prices[i], dp[i - 1][1]);
        dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2]);
        dp[i][3] = Math.max(dp[i - 1][2] - prices[i], dp[i - 1][3]);
        dp[i][4] = Math.max(dp[i - 1][3] + prices[i], dp[i - 1][4]);
    }

    return dp[len - 1][4];
}

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n × 5)

188 买卖股票的最佳时机IV

条件：只能买卖两次 → 只能买卖k次

特殊化 → 一般化

买卖两次思路的延申

动规五部曲分析

动规五部曲，分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义

使用二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]
j的状态表示为：

• 0 表示不操作
• 1 第一次买入
• 2 第一次卖出
• 3 第二次买入
• 4 第二次卖出
• 5 第三次.....

规律：除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入。

题目要求是至多有K笔交易，那么j的范围就定义为 2 * k + 1 就可以了。
所以二维dp数组的C++定义为：

int[][] dp = new int[len][2 * k + 1];

2. 确定递推公式

回顾定义：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票。
而2k次买卖本质上都是由以下两种状态组成
达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

• 操作一：第 i 天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i - 1][0] - prices[i]
• 操作二：第 i 天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]

选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);
同理dp[i][2]也有两个操作：

• 操作一：第 i 天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
• 操作二：第 i 天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]

所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])
同理可以类比剩下的状态，代码如下：

for (int j = 0; j < 2 * k; j += 2) {
    dp[i][j + 1] = Math.max(dp[i - 1][j] - prices[i], dp[i - 1][j + 1]);
    dp[i][j + 2] = Math.max(dp[i - 1][j + 1] + prices[i], dp[i - 1][j + 2]);
}

3. dp数组如何初始化

第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;
第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];
第0天做第一次卖出的操作，当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;
第0天第二次买入操作，（第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后在买入一次）,
初始化为：dp[0][3] = -prices[0];
第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;
所以同理可以推出dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]
代码如下：

// 初始化
for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
    dp[0][j] = -prices[0];
}

在初始化的地方同样要类比j为偶数是卖、奇数是买的状态。

4. 确定遍历顺序

从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。

5. 举例推导dp数组

以输入[1,2,3,4,5]，k=2为例。

最后一次卖出，一定是利润最大的，dp[prices.size() - 1][2 * k]即红色部分就是最后求解。
以上分析完毕，代码如下：

public int maxProfit(int k, int[] prices) {
    int len = prices.length;
    int[][] dp = new int[len][2 * k + 1];

    // 初始化
    for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
        dp[0][j] = -prices[0];
    }

    // 递推公式
    for (int i = 1; i < len; i++) {
        for (int j = 0; j < 2 * k; j += 2) {
            dp[i][j + 1] = Math.max(dp[i - 1][j] - prices[i], dp[i - 1][j + 1]);
            dp[i][j + 2] = Math.max(dp[i - 1][j + 1] + prices[i], dp[i - 1][j + 2]);
        }
    }

    return dp[len - 1][2*k];
}

• 时间复杂度: O(n * k)，其中 n 为 prices 的长度
• 空间复杂度: O(n * k)

学习资料：

123.买卖股票的最佳时机III

188.买卖股票的最佳时机IV