下面来看看如何编写执行二分查找的Python代码。这里的代码示例使用了数组。如果你不熟 悉数组，也不用担心，下一章就会介绍。你只需知道，可将一系列元素存储在一系列相邻的桶（bucket），即数组中。这些桶从0开始编号：第一个桶的位置为#0，第二个桶为#1，第三个桶为#2， 以此类推。 函数binary_search接受一个有序数组和一个元素。如果指定的元素包含在数组中，这个 函数将返回其位置。你将跟踪要在其中查找的数组部分——开始时为整个数组。
你每次都检查中间的元素。
如果猜的数字小了，就相应地修改low。
如果猜的数字大了，就修改high。完整的代码如下。
1.2.2 运行时间
每次介绍算法时，我都将讨论其运行时间。一般而言，应选择效率最高的算 法，以最大限度地减少运行时间或占用空间。
回到前面的二分查找。使用它可节省多少时间呢？简单查找逐个地检查数 字，如果列表包含100个数字，最多需要猜100次。如果列表包含40亿个数字，最 多需要猜40亿次。换言之，最多需要猜测的次数与列表长度相同，这被称为线性 时间（linear time）。
二分查找则不同。如果列表包含100个元素，最多要猜7次；如果列表包含40亿个数字，最多 需猜32次。厉害吧？二分查找的运行时间为对数时间（或log时间）。下表总结了我们发现的情况。
1.3 大 O 表示法
大O表示法是一种特殊的表示法，指出了算法的速度有多快。谁在乎呢？实际上，你经常要 使用别人编写的算法，在这种情况下，知道这些算法的速度大有裨益。本节将介绍大O表示法是 什么，并使用它列出一些最常见的算法运行时间。
1.3.1 算法的运行时间以不同的速度增加 Bob要为NASA编写一个查找算法，这个算法在火箭即将登陆月球 前开始执行，帮助计算着陆地点。 这个示例表明，两种算法的运行时间呈现不同的增速。Bob需要做 出决定，是使用简单查找还是二分查找。使用的算法必须快速而准确。 一方面，二分查找的速度更快。Bob必须在10秒钟内找出着陆地点，否 则火箭将偏离方向。另一方面，简单查找算法编写起来更容易，因此出 现bug的可能性更小。Bob可不希望引导火箭着陆的代码中有bug！为确 保万无一失，Bob决定计算两种算法在列表包含100个元素的情况下需要 的时间。 假设检查一个元素需要1毫秒。使用简单查找时，Bob必须检查100个元素，因此需要100毫秒 才能查找完毕。而使用二分查找时，只需检查7个元素（log2100大约为7），因此需要7毫秒就能查 找完毕。然而，实际要查找的列表可能包含10亿个元素，在这种情况下，简单查找需要多长时间 呢？二分查找又需要多长时间呢？请务必找出这两个问题的答案，再接着往下读。
Bob使用包含10亿个元素的列表运行二分查找，运行时间为30毫秒（log21 000 000 000大约为 30）。他心里想，二分查找的速度大约为简单查找的15倍，因为列表包含100个元素时，简单查找 需要100毫秒，而二分查找需要7毫秒。因此，列表包含10亿个元素时，简单查找需要30 × 15 = 450 毫秒，完全符合在10秒内查找完毕的要求。Bob决定使用简单查找。这是正确的选择吗？ 不是。实际上，Bob错了，而且错得离谱。列表包含10亿个元素时，简单查找需要10亿毫秒， 相当于11天！为什么会这样呢？因为二分查找和简单查找的运行时间的增速不同。
也就是说，随着元素数量的增加，二分查找需要的额外时间并不多， 而简单查找需要的额外时间却很多。因此，随着列表的增长，二分查找 的速度比简单查找快得多。Bob以为二分查找速度为简单查找的15倍， 这不对：列表包含10亿个元素时，为3300万倍。有鉴于此，仅知道算法 需要多长时间才能运行完毕还不够，还需知道运行时间如何随列表增长 而增加。这正是大O表示法的用武之地。 大O表示法指出了算法有多快。例如，假设列表包含n个元素。简 单查找需要检查每个元素，因此需要执行n次操作。使用大O表示法， 这个运行时间为O(n)。单位秒呢？没有——大O表示法指的并非以秒为单位的速度。大O表示法 让你能够比较操作数，它指出了算法运行时间的增速。 再来看一个例子。为检查长度为n的列表，二分查找需要执行log n次操作。使用大O表示法， 这个运行时间怎么表示呢？O(log n)。一般而言，大O表示法像下面这样。
这指出了算法需要执行的操作数。之所以称为大O表示法，是因为操作数前有个大O。这听 起来像笑话，但事实如此！ 下面来看一些例子，看看你能否确定这些算法的运行时间。
1.3.2 理解不同的大 O 运行时间
下面的示例，你在家里使用纸和笔就能完成。假设你要画一个网格，它包含16个格子。
算法1
一种方法是以每次画一个的方式画16个格子。记住，大O表示法计算的是操作数。在这个示 例中，画一个格子是一次操作，需要画16个格子。如果每次画一个格子，需要执行多少次操作呢？
画16个格子需要16步。这种算法的运行时间是多少？
算法2
请尝试这种算法——将纸折起来。
在这个示例中，将纸对折一次就是一次操作。第一次对折相当于画了两个格子！ 再折，再折，再折。
折4次后再打开，便得到了漂亮的网格！每折一次，格子数就翻倍，折4次就能得到16个格子！
你每折一次，绘制出的格子数都翻倍，因此4步就能“绘制”出16个格子。这种算法的运行 时间是多少呢？请搞清楚这两种算法的运行时间之后，再接着往下读。
答案如下：算法1的运行时间为O(n)，算法2的运行时间为O(log n)。
1.3.3 大 O 表示法指出了最糟情况下的运行时间
假设你使用简单查找在电话簿中找人。你知道，简单查找的运行时间为O(n)，这意味着在最 糟情况下，必须查看电话簿中的每个条目。如果要查找的是Adit——电话簿中的第一个人，一次 就能找到，无需查看每个条目。考虑到一次就找到了Adit，请问这种算法的运行时间是O(n)还是 O(1)呢？
简单查找的运行时间总是为O(n)。查找Adit时，一次就找到了，这是最佳的情形，但大O表 示法说的是最糟的情形。因此，你可以说，在最糟情况下，必须查看电话簿中的每个条目，对应 的运行时间为O(n)。这是一个保证——你知道简单查找的运行时间不可能超过O(n)。
说 明
除最糟情况下的运行时间外，还应考虑平均情况的运行时间，这很重要。最糟情况和平 均情况将在第4章讨论。
