打家劫舍的变化在于房子排布(线性的 环状的 树状的)
198 打家劫舍
✍手写分析
思路
如果这一层偷了，那么上下关联两层就不能偷,反之上下两层就能偷。当前状态和前面状态会有一种依赖关系，那么这种依赖关系都是动规的递推公式。
当然以上是大概思路，打家劫舍是dp解决的经典问题，接下来我们来动规五部曲分析如下：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：考虑下标i（包括i）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i]。
- 确定递推公式
决定dp[i]的因素就是第i房间偷还是不偷。
- 如果偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 2] + nums[i] ，即：第i-1房一定是不考虑的，找出 下标i-2（包括i-2）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i-2] 加上第i房间偷到的钱。
- 如果不偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 1]，即考 虑i-1房，（注意这里是考虑，并不是一定要偷i-1房）
然后dp[i]取最大值，即dp[i] = Math.max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);
- dp数组初始化
从递推公式dp[i] = Math.max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);可以看出，递推公式的基础就是dp[0] 和 dp[1]
从dp[i]的定义上来讲，dp[0] 一定是 nums[0]，dp[1]就是nums[0]和nums[1]的最大值即：dp[1] = max(nums[0], nums[1]);
代码如下：
vector<int> dp(nums.size());
dp[0] = nums[0];
dp[1] = max(nums[0], nums[1]);
- 确定遍历顺序
dp[i] 是根据dp[i - 2] 和 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历！
代码如下：
for (int i = 2; i < nums.length; i++) {
dp[i] = Math.max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i]);
}
- 举例推导dp数组
以示例二，输入[2,7,9,3,1]为例。
红框dp[nums.size() - 1]为结果。
以上分析完毕，代码如下：
public int rob(int[] nums) {
// 特殊情况
if (nums == null || nums.length == 0) return 0;
if (nums.length == 1) return nums[0];
int[] dp = new int[nums.length];
dp[0] = nums[0];
dp[1] = Math.max(nums[0], nums[1]);
for (int i = 2; i < nums.length; i++) {
dp[i] = Math.max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i]);
}
return dp[nums.length - 1];
}
- 时间复杂度: O(n)
- 空间复杂度: O(n)
213 打家劫舍Ⅱ
线性变环状了
思路
对于一个数组，成环的话主要有如下三种情况：
- 情况一：考虑不包含首尾元素
- 情况二：考虑包含首元素，不包含尾元素
- 情况三：考虑包含尾元素，不包含首元素
注意我这里用的是"考虑"，例如情况三，虽然是考虑包含尾元素，但不一定要选尾部元素！ 对于情况三，取nums[1] 和 nums[3]就是最大的。
而情况二 和 情况三 都包含了情况一了，所以只考虑情况二和情况三就可以了。
分析到这里，本题其实比较简单了。 剩下和打家劫舍原题一样了
代码如下：
class Solution {
public int rob(int[] nums) {
if (nums == null || nums.length == 0) return 0;
int len = nums.length;
if (len == 1)
return nums[0];
// 考虑第一个元素 与 考虑最后一个元素
return Math.max(robAction(nums, 0, len - 1), robAction(nums, 1, len));
}
// 打家劫舍逻辑,优化了存储空间
private int robAction(int[] nums, int start, int end) {
int x = 0, y = 0, z = 0;
for (int i = start; i < end; i++) {
// 腾位
x = y;
y = z;
// 计算
z = Math.max(y, x + nums[i]);
}
return z;
}
}
- 时间复杂度: O(n)
- 空间复杂度: O(1)
总结
成环之后还是难了一些的， 难点是情况一二三是“考虑”的范围，而具体房间偷与不偷是交给递推公式去抉择。
这样就不难理解情况二和情况三包含了情况一了。
337 打家劫舍Ⅲ
线性变树状 与 968. 监控二叉树 为贪心 + 树一样，本题是动态规划 + 树的基础题
思路
动态规划就是使用状态转移容器来记录状态的变化，这里可以使用一个长度为2的数组，记录当前节点偷与不偷所得到的的最大金钱。
树涉及到递归三部曲，递归涉及到了动规五部曲，以下以递归为主进行分析
- 确定递归函数的参数和返回值
这里我们要求一个节点 偷与不偷的两个状态所得到的金钱，那么返回值就是一个长度为2的数组。
参数为当前节点，代码如下：
private int[] robAction(TreeNode root)
其实这里的返回数组就是dp数组。
所以dp数组（dp table）以及下标的含义：下标为0记录不偷该节点所得到的的最大金钱，下标为1记录偷该节点所得到的的最大金钱。
所以本题dp数组就是一个长度为2的数组！
- 确定终止条件
在遍历的过程中，如果遇到空节点的话，很明显，无论偷还是不偷都是0，所以就返回
// 终止条件
if (root == null) return new int[]{0,0};
这也相当于dp数组的初始化
- 确定遍历顺序
首先明确的是使用后序遍历。 因为要通过递归函数的返回值来做下一步计算。
通过递归左节点，得到左节点偷与不偷的金钱。
通过递归右节点，得到右节点偷与不偷的金钱。
代码如下：
// 后序遍历
int[] left = robAction(root.left);
int[] right = robAction(root.right);
- 确定单层递归的逻辑
- 如果是偷当前节点，那么左右孩子就不能偷，val1 = root.val + left[0] + right[0];
- 如果不偷当前节点，那么左右孩子就可以偷，至于到底偷不偷一定是选一个最大的，所以：
val2 = Math.max(left[0], left[1]) + Math.max(right[0], right[1]);
最后当前节点的状态就是{val2, val1}; 即：{不偷当前节点得到的最大金钱，偷当前节点得到的最大金钱}
代码如下：
// 后序遍历
int[] left = robAction(root.left);
int[] right = robAction(root.right);
int val1 = root.val + left[0] + right[0]; // 偷
int val2 = Math.max(left[0], left[1]) + Math.max(right[0], right[1]); // 不偷
return new int[]{val2,val1};
- 举例推导dp数组
以示例1为例，dp数组状态如下：（注意用后序遍历的方式推导）
最后头结点就是 取下标0 和 下标1的最大值就是偷得的最大金钱。
递归三部曲与动规五部曲分析完毕，C++代码如下：
class Solution {
public int rob(TreeNode root) {
int[] ints = robAction(root);
return Math.max(ints[0],ints[1]);
}
private int[] robAction(TreeNode root){
// 终止条件
if (root == null) return new int[]{0,0};
// 后序遍历
int[] left = robAction(root.left);
int[] right = robAction(root.right);
int val1 = root.val + left[0] + right[0]; // 偷
int val2 = Math.max(left[0], left[1]) + Math.max(right[0], right[1]); // 不偷
return new int[]{val2,val1};
}
}
- 时间复杂度：O(n)，每个节点只遍历了一次
- 空间复杂度：O(log n)，算上递推系统栈的空间
学习资料：
