题目：
又见01背包
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难度： 3
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描述
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有n个重量和价值分别为wi 和 vi 的 物品，从这些物品中选择总重量不超过 W
的物品，求所有挑选方案中物品价值总和的最大值。
1 <= n <=100
1 <= wi <= 10^7
1 <= vi <= 100
1 <= W <= 10^9
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- 输入
- 多组测试数据。
每组测试数据第一行输入，n 和 W ，接下来有n行，每行输入两个数，代表第i个物品的wi 和 vi。 - 输出
- 满足题意的最大价值，每组测试数据占一行。
- 样例输入
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4 5 2 3 1 2 3 4 2 2 - 样例输出
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7
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思路：
这道题很容易发现其实重量很大，达到10^9，但是价值很小啊，现在就来推一下这个所谓的“互换”是怎么来的(其实我觉得还不如从最原始的来，不叫做“互换”好理解点),最原始的那个式子
dp[i][j]表示当取 i个， 重量为 j的时候背包的最大价值，状态转移方程就是 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i-1][j - weight[i]] + value[i])， 这个式子的意思想必大家都明白吧，前面的那个意思是不取当前这个，后面的这个是取上当前这个物品， 后来再经空间优化之后变成了dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]), 仔细观察会发现二维数组时，那两种状态都是i - 1,所以就可以去掉，但是得注意，循环遍历的时候要逆序，正序的话就成完全背包了， 忘了说这个dp[j]表示什么了，dp[j]就是 当取到重量为j的时候的最大价值。弄明白了这些。这时候就可以来看这个题了， 题目要求和普通的01背包一样，求能装的最大价值，普通方法就是直接找最大价值，现在要换种思维，找最小的重量， 因为同样价值，重量越小，那么最后能装的价值就可能越大，所以这个dp[i][j]就表示 当 取 i 个， 价值为j的时候的最小重量，状态转移方程为 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - value[i]] + weight[i]),和那个最初推的一样，不再罗嗦，空间优化之后状态转移方程为dp[j] = min(dp[j], dp[j - value[i]] + weight[i]),同样的意思，dp[j]表示 价值为j的时候的最小重量，到最后只要从最大价值往下遍历这个dp数组，只要找到dp[j] <=背包重量的时候就直接输出 j， 这时候j就是最大的。
代码：
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
int weight[200],value[200];
int dp[10005];
int main()
{
int n,w;//w表示最大的重量
while(~scanf("%d %d",&n,&w))
{
int sum=0;
for(int i=0; i<n; i++)
{
scanf("%d %d",&weight[i],&value[i]);
sum+=value[i];//算出总价值
}
mem(dp,0x3f);//初始化数组非常大
dp[0]=0;
for(int i=0; i<n; i++)
{
for(int j=sum; j>=value[i]; j--)
dp[j]=min(dp[j],dp[j-value[i]]+weight[i]);//dp[j]表示价值为j时候的最小重量
}
for(int i=sum; i>=0; i--)
{
if(dp[i]<=w)//当当前的价值的最小重量小于等于题目需要的最大重量时，输出这时的价值i
{
printf("%d\n",i);
break;
}
}
}
return 0;
}
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