多项式时间

多项式时间(Polynomial time) 用于描述算法在处理问题时所需的时间随输入规模的增长情况。一个算法被称为在多项式时间内运行，意味着其运行时间可以由多项式函数来界定，即随着输入规模的增长，算法的运行时间不会呈指数级增长，而是在多项式级别内增长。

具体来说，一个算法在多项式时间内运行，意味着存在一个多项式函数（通常表示为T(n)），其中 n 是输入规模，使得算法在处理大小为 n 的输入时，运行时间不会超过 T(n)。

举例来说，如果一个算法的运行时间是 O(n^2)（即平方级别），那么它可以被认为在多项式时间内运行，因为它的运行时间随着输入规模的增长而以多项式的速度增长。另一方面，如果一个算法的运行时间是 O(2^n)（即指数级别），那么它不会在多项式时间内运行，因为它的运行时间会随着输入规模的增长呈指数级增长。

多项式时间是一个重要的概念，因为在计算复杂性理论中，我们通常将可以在多项式时间内解决的问题视为“可解”的问题，而那些在多项式时间内难以解决的问题被认为是“困难”的问题，甚至可能是“不可解”的问题。
常见多项式时间复杂度的关系为
$0(1){<}0(log^{n}){<}0(n){<}0(nlog^{n}){<}0(n^{2}){<}0(n^{3})$

常见非多项式时间复杂度关系为：
$\text{O}(2^n)\text{<O}(n!)\text{<O}(n^n)$

NP难

"NP难" 是计算复杂性理论中的一个重要概念，用于描述一类计算问题的难度级别。"NP"代表"非确定性多项式时间"（Nondeterministic Polynomial time），是一种问题求解的时间复杂性类别，包括那些可以在多项式时间内验证一个给定解是否正确的问题。

一个问题被称为"NP难"，意味着如果我们能在多项式时间内解决它，那么就能在多项式时间内解决所有"NP问题"（即可以在多项式时间内验证解的问题）。换句话说，"NP难"问题是一类至少和所有"NP问题"一样困难的问题。

特别地，如果一个问题既是"NP难"又属于"NP"，那么它被称为"NP完全"。"NP完全"问题在计算理论中具有极大的重要性，因为它们在计算上被认为是等同于最困难的问题之一，解决一个"NP完全"问题等价于解决所有"NP问题"。

总之，"NP难"是指那些至少和"NP问题"一样困难的计算问题，而"NP完全"是指既是"NP难"又属于"NP"的问题。这些概念对于理解计算问题的难度和可解性有着重要意义。