回溯算法理论基础

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回溯法：一种接近暴力搜索的算法，本身并不高效，用来解决多层for循环的问题，本质就是穷举法。 回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯。

回溯法，一般可以解决如下几种问题：

• 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
• 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
• 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
• 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
• 棋盘问题：N皇后，解数独等等

回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度，都构成的树的深度。

回溯算法模板框架如下：

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

第77题. 组合

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每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围。

图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度。

可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。

如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。 为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。

// 回溯算法模板如下：
    /**
    void backtracking(参数) {
        if (终止条件) {
            存放结果;
            return;
        }

        for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大   小）) {
            处理节点;
            backtracking(路径，选择列表); // 递归
            回溯，撤销处理结果
        }
    }
    */
    // 时间复杂度: O(n * 2^n)
    // 空间复杂度: O(n)

    // 回溯法

    // 存放结果的集合
    vector<vector<int>> result;
    // 存放当前组合路线的集合
    vector<int> path;
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
            // 处理节点
            path.push_back(i);
            // 递归
            backtracking(n, k, i + 1);
            // 回溯
            path.pop_back();
        }
    }
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        result.clear();
        path.clear();
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }

    // 剪枝优化的回溯法
    void backtracking1(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) {
            path.push_back(i); // 处理节点
            backtracking(n, k, i + 1);
            path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
        }
    }