RMQ+动态规划 求数组某一个范围的最大值

题目

• 给定一个数组，求数组某一个范围的最大值
• 通过下面的RQM结构，生成dp表的代价为 O(N*logN),查询的代价为 O(1)
• dp[i][j] 表示，从 i 位置开始（包括i位置）的 2^j 个数的最大值
  • i从下标1开始，求下标1开始的 2^0、2^1、2^3、...不超过数组长度范围的最大值
  • 然后i从下标2开始,求下标2开始的 2^0、2^1、2^3、...不超过数组长度范围的最大值
  • 当 j 为 0时，每个位置开始的1个数的最大值也就是元素自身
  • 当 j >0 时，假设j=3，i=10，表示10位置开始的 2^3 个数的最大值dp[10][3]，就等价于dp[10][2]10位置开始的4个数的最大值，dp[14][2],14位置开始的4个数的最大值 相比，最大的那一个
  • 因为 dp 表从上往下填 dp[i][j]=Math.max(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1])，所以下面的都能从上面已填写的信息得出答案
• 当查找[left,right]范围内的最大值时，为了避免长度奇偶的影响，将范围拆分成两个范围分别求解答案再比较，范围长度为 len ,小于等于len的2的最大指数为k，则先求前2^k个数的最大值，然后求right往前推2^k这个范围的最大值，再比较得出答案

class RMQ {
  constructor(arr) {
    this.len = arr.length;
    const k = this.getPower2(this.len);
    // 建立二维dp表, dp[i][j] 表示从数组下标 i 开始（包括i），往后的 2^j 个数的最大值 ， i 从 1 开始 对应原始数组下标为 i-1
    const dp = Array(len + 1).fill(0);
    for (let i = 0; i < dp.length; i++) {
      dp[i] - Array(k + 1).fill(0);
    }
    this.dp = dp;

    this.setRMQ(arr);
  }

  setRMQ(arr) {
    // 2^0也就1，区间长度为1时，i 位置开始的 1个数的最大值也就是元素本身
    for (let i = 1; i <= this.len; i++) {
      dp[i][0] = arr[i - 1];
    }
    // j 表示 i 位置开始的 2^j 个数、2^1、2^2、...
    for (let j = 1; 1 << j <= this.len; j++) {
      // 遍历数组下标，包括 i 位置之后的 2^j 个数（所以要减1），没有超过数组长度的话
      for (let i = 1; i + (1 << j) - 1 <= this.len; i++) {
        // 比如 10 位置后面的 2^3 个数的最大值等价于： 10 位置开始的 2^2 4个数的最大值 和 10位置往后移动4个数的位置之后（14）开始的四个数的最大值 相比最大的那一个
        // 10 11 12 13 这个区间最大值和 14、15、16、17、18 这个区间的最大值相比，最大的那个一个
        dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
      }
    }
  }

  // 2^n 次方，求小于等于 len 的最大指数 n
  getPower2(len) {
    let res = 0;
    while (1 << res <= len) {
      res++;
    }
    return res - 1;
  }

  // left 索引也是从 1 开始
  getMax(left, right) {
    const k = this.getPower2(right - left + 1);
    // 求 [left,right]范围，假设范围长度为9，不超过 9 的最大为 2^3 ，可以拆分成先求 前8个数的最大值，然后求后八个数的最大值，任意一个范围都能这样拆
    return Math.max(this.dp[left][k], this.dp[right - (1 << k) + 1][k]);
  }
}