倍增法和 ST 表

RMQ 问题

来看看这样一个问题：

给定一个序列$a = {a_0,a_1,...,a_{n-1}}$

每次询问的内容是求 {$a_l,...a_r$} 的 最大值。

这类问题我们将其称为 Range Minimum/Maximum Query，简称 RMQ。

我们知道连续子段和是可以通过前缀和优化去降低时间复杂度的，但是最值这个概念很明显是不能的，所以我们需要想想其他办法。

倍增思想

请注意，这一章里面的所有问题，都是 静态 的。动态的相关问题自然也是可做的，但是会使用到一些复杂的数据结构，比如说线段树，树状数组，甚至是动态树等等，这里就不再多说了。

我们需要找一个连续序列元素的最值，那么我们分别先求出左半序列的最值和右半序列的最值，然后在取出的两个最值中再取一次最值就行了。

根据这样一个思想，接下来我们来看看 ST 算法。

ST 算法预处理

在使用动态规划求区间最值时，有状态转移方程

相当于每一次转移增加 1 的长度。

在 ST 算法中，可以使用倍增的思想——每次转移长度翻倍。

用 $f[i][j]$表示以 i 为起点，长度为$2^j$的区间的最值，即区间 $[i,i+2^j-1]$。

在求解 $f[i][j]$，可以把这个区间等分成两个区间，

即 $[i,i+2^{j-1}-1]$ 和$[i + 2^{j -1},i+2^j-1]$ 

以求最大值为例，状态转移方程为

当 j=0 时， $f[i][j]$ 即 $[i,i]$ 的最大值，即 $a_i$ 。

在根据状态转移方程递推时，先求所有区间长度为 1 的区间最值，之后再求区间长度为 2 的区间最值、区间长度为 4 的区间最值 ⋯ 在求解区间长度为 2logn 的区间最值后，算法结束。

ST 算法询问

在预处理时，每一个状态对应的区间长度都为$2^j$  。但给出的待查询区间长度不一定恰好为 2 的幂，因此需要对待查询的区间进行一些处理。

把待查询的区间分成两个小区间，这两个小区间满足两个条件：

1. 这两个小区间的并集为待查询的区间
2. 为了利用预处理的结果，要求小区间长度相等且都为 2 的幂。

注意两个小区间可能重叠。因为是求最值，所以重复计算并不影响结果。

我们用蓝色表示待查询区间 $[l,r]$。假设 $2^k≤r−l+1<2^k+1$，那么两个小区间（橘色）的长度就应该是 $2^k$。而为了保证两个小区间的并集正好是蓝色区间，它们应该满足：

1. 其中一个区间的左端是 l。
2. 另一个区间的右端是 r。

所以这两个小区间分别是 $[l,l+2^{k}-1]$和 $[r−2^k + 1,r]$。而我们 f 数组里面只存了区间的起点，所以最后用来求最值的量应该是$f_{l,k}$和$f_{r-2^k+1,k}$ 。

比如待查询的区间为 $[3, 15]$，区间长度为 15−3+1=13，那么取$i=3$ ，两个小区间为 $[3,10]$ 和$[8, 15]$ ，分别对应 $f_{3,3}$和$f_{8,3}$ ，也就是说答案是  $max(f_{3,3},f_{8,3})$

参考代码

#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn = 1000005;
int n, m, a[maxn], f[maxn][25], l, r;
int Log2[maxn];
void prepare() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        Log2[i] = Log2[i / 2] + 1;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        f[i][0] = a[i];
    }
    for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++) {
        for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) {
            f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
        }
    }
}
int query(int l, int r) {
    int i = Log2[r - l + 1];
    return max(f[l][i], f[r - (1 << i) + 1][i]);
}
int main() {
    prepare();
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        cin >> l >> r;
        cout << query(l, r) << endl;
    }
    return 0;
}

ST 表

这道题我们需要去解决子段最大值的问题。

#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn = 1000005;
int n, m, a[maxn], f[maxn][25], l, r;
int Log2[maxn];
void prepare() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        Log2[i] = Log2[i / 2] + 1;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin >> a[i];
        f[i][0] = a[i];
    }
    for(int j = 1; (1 << j) <= n; j++){
        for(int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++){
            f[i][j] = max(f[i][j - 1],f[i+(1 << (j - 1))][j-1]);
        }
    }
}
int query(int l, int r) {
    int i = Log2[r - l + 1];
    return max(f[l][i],f[r - (1 << i) + 1][i]);
}
int main() {
    prepare();
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        cin >> l >> r;
        cout << query(l, r) << endl;
    }
    return 0;
}

exm 题单

• P1816 忠诚
• P5648 Mivik的神力