集合与逻辑
集合逻辑
部分集合与幂集合
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集合是满足一定条件，能够与其他的东西明确区分的集。
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关于一个集合U，属于它的东西，我们称它为要素，或者元。
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要素为0的元素，我们称它为空集合。
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空集合用记号φ表示。
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要素为有限个的集合，我们称它为有限集合。
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有无限个要素的集合，我们称它为无限集合。
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一个集合中也可以有好几个集合，这被称为部分集合。
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如果集合A是集合B的部分集合，A和B不相等，那么集合A是集合B的真部分集合。
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数学上，集合的冪集（英语：power set），定义为由该集合全部子集为元素构成的集合。给定集合
，其幂集
（或作
）以符号表示即为
。
差集合与对称差
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当有两个集合A和B，是集合A的要素而不是集合B的要素的集合，称作集合A与B的差集合，表作A-B。
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数学上，两个集合的对称差是只属于其中一个集合，而不属于另一个集合的元素组成的集合。 集合论中的这个运算相当于布尔逻辑中的异或运算。
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对称差是集合间的运算，两个集合
和
，其对称差
有几种等价的定义方式：
集合的要素数
- 集合的要素数一般用n（A）表示。
- 假设集合A，集合B和集合C为有限集合，则它们各自的和集合的要素数可以通过下列公式求出。
命题与逻辑
命题
- 所谓的命题，就是使用记号或者文章表现的判断或主张，能够清楚地分辨出真伪的东西。
- 一般来说，命题可以使用p，q这样的记号来表示。
- 有一些命题需要去指定其中的变数才能确定命题的真伪，这样的命题含有变数x，那个x的值能够决定命题的真伪，这样的命题被称为条件命题或者命题函数，一般可以用p(x),q(x)来表示。
复合命题
- 将两个以上的命题用“且”或“或”连接的命题叫做复合命题或合成命题。
- 复合命题的种类
| 意思 | 逻辑记号 | 真理值 | |
|---|---|---|---|
| 联言命题 | p且q | p∧q | 命题p，q都是真的时候为真，除此以外的是伪 |
| 选言命题 | p或q | p∨q | 命题p，q至少一方为真的时候为真，都是伪的时候为伪 |
| 否定命题 | 非p | ¬p | 命题p为真时则为伪，反之为真 |
| 条件文（含义命题） | 如果p则q | p→q | 命题p为真，q为伪时则为伪，除此以外为真 |
| 双条件文 | 如果p则q且如果q则p | p↔︎q | 命题p和命题q的真理值为真时则为真，除此以外为伪 |
条件文（含意命题）
- 复合命题“如果p则q”被称作命题的条件文，表作“p→q”。“→”是在只有得到“真→伪”的结果时为伪的演算，这被称为“含意”。
- “p→q”含意命题的真理值和以下逻辑式相等：
- ¬p∨q
- ¬(p∧¬q)
条件文“p➡q”的逆·里·对偶
逻辑演算
逻辑演算和集合演算
- 基本的逻辑演算有三种：逻辑积演算（AND演算），逻辑和演算（OR演算），否定演算（NOT演算）
- 由这三种演算组合成基本逻辑回路，可以作成各种各样的逻辑回路。
- 逻辑演算和集合演算的演算符号如下：
| 逻辑演算 | 集合演算 | |
|---|---|---|
| 逻辑积 | ・或∧ | |
| 逻辑和 | +或∨ | |
| 否定 | 或¬ | |
| 排他逻辑和 |
- 演算规则
| 逻辑演算 | 集合演算 | |
|---|---|---|
| 幂等则 | A・A＝A | A∩A=A |
| A+A=A | A∪A=A | |
| 交换法则 | A・B=B・A | A∩B=B∩A |
| A＋B＝B＋A | A∪B=B∪A | |
| 结合法则 | A・(B+C)=(A・B)+(A・C) | (A∩B)∩C=A∩(B∩C) |
| (A+B)+C=A+(B+C) | (A∪B)∪C=A∪(B∪C) | |
| 分配法则 | A・(B+C)=(A・B)+(A・C) | A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) |
| A+(B・C)=(A+B)・(A+C) | A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) | |
| 吸收法则 | A+(A・B)=A | A∪(A∩B)=A |
| A・(A+B)=A | A∩(A∪B)=A | |
| 德摩根法则 | ¬(A・B)=¬A+¬B | ¬(A∩B)=¬A∪¬B |
| ¬(A+B)=¬A・¬B | ¬(A∪B)=¬A∩¬B | |
| 其他 | A+0=A A・0=0 | A∪φ=A A∩φ=φ |
| A+1=1 A・1=A | A∪U=U A∩U=A | |
| A+¬A=1 A・¬A=0 | A∪¬A=U A∩¬A=φ |
- φ：空集合，U:全集合
逻辑式的简略化
使用演算规则的简略化
- 案例：
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=
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使用卡诺图的简略化
- 逻辑式可以用卡诺图来表示。
- 案例：
（持续更新。。。）
