矩阵运算在游戏中的应用

矩阵运算在许多实际的应用中都有着广泛的用途。例如，在计算机图形学中，矩阵用于表示和操作二维和三维的图形。在这种情况下，矩阵运算可以用于执行各种图形变换，如旋转、缩放、平移和投影。

什么是矩阵？

在最基础的层面上，矩阵是一个由数字组成的矩形阵列。在数学表示法中，我们通常使用大写字母来表示矩阵，例如 A、B 或 C。矩阵可以有任意数量的行和列，我们通常描述矩阵的大小为“m x n”，其中 m 是行数，n 是列数。例如，下面是一个 2 x 3 的矩阵：

为什么使用矩阵？

在游戏开发中，使用矩阵来表示和执行这些变换有许多优点：

• 统一性：矩阵运算为我们提供了一种统一的方式来处理旋转、缩放和平移。这样我们可以将一个物体的所有变换合并到一个矩阵中，然后一次性应用到物体的每个顶点上。
• 效率：矩阵运算在硬件级别上得到了优化，特别是在具有现代图形处理单元（GPU）的系统上，这些运算可以并行执行，从而大大提高了效率。
• 灵活性：通过组合不同的矩阵，我们可以创建出复杂的变换效果，例如镜像、扭曲和投影等。
• 数学性质：矩阵运算具有一些有用的数学性质，例如结合性和分配性。这些性质使得变换的合并和分解变得更加容易

矩阵运算

矩阵运算有几种基本类型，包括矩阵加法、矩阵减法、标量乘法和矩阵乘法。

矩阵加法和减法

矩阵的加法和减法是将两个维度相同的矩阵中对应的元素进行相加或相减。例如，对于两个 4x4 的矩阵 A 和 B，它们的加法和减法可以表示为：

标量乘法

标量乘法是将矩阵的每一个元素都乘以一个实数（标量）。例如，对于一个标量 k 和一个 4x4 的矩阵 A，标量乘法可以表示为：

矩阵乘法

矩阵乘法并不是简单的对应元素相乘，而是通过一种特定的方式进行。对于一个 4x4 的矩阵 A 和另一个 4x4 的矩阵 B，它们的乘法可以表示为：

矩阵在游戏开发中的应用

在游戏开发中，矩阵运算被广泛用于实现各种图形变换，包括旋转、平移、缩放和投影。

旋转

在三维空间中，我们可以使用一个 4x4 的矩阵来表示一个旋转，旋转可以绕 X 轴、Y 轴或 Z 轴进行，用矩阵表示如下：

绕 X 轴旋转：

绕 Y 轴旋转：

绕 Z 轴旋转：

平移

在三维空间中，我们可以使用一个 4x4 的矩阵来表示一个平移。对于一个在 x 方向上移动 dx，在 y 方向上移动 dy，在 z 方向上移动 dz 的平移矩阵 T，它可以表示为：

缩放

在三维空间中，我们可以使用一个 4x4 的矩阵来表示一个缩放。对于一个在 x 方向上缩放 sx，在 y 方向上缩放 sy，在 z 方向上缩放 sz 的缩放矩阵 S，它可以表示为：

投影

在三维空间中，我们可以使用一个 4x4 的矩阵来表示一个透视投影。对于一个焦距为 f 的投影矩阵 P，它可以表示为：

TypeScript示例

下面是一个 TypeScript 示例，展示了如何创建这些矩阵，并将它们应用到一个向量上：

type Vector = [number, number, number, number];
type Matrix = [Vector, Vector, Vector, Vector];

// 创建旋转矩阵
function createRotationMatrix(axis: 'x' | 'y' | 'z', angle: number): Matrix {
    const c = Math.cos(angle);
    const s = Math.sin(angle);
    switch (axis) {
        // 绕X坐标轴旋转
        case 'x': return [
            [1, 0, 0, 0], 
            [0, c, -s, 0], 
            [0, s, c, 0], 
            [0, 0, 0, 1]
        ];
        // 绕Y坐标轴旋转
        case 'y': return [
            [c, 0, s, 0], 
            [0, 1, 0, 0], 
            [-s, 0, c, 0], 
            [0, 0, 0, 1]
        ];
        // 绕Z坐标轴旋转
        case 'z': return [
            [c, -s, 0, 0], 
            [s, c, 0, 0], 
            [0, 0, 1, 0], 
            [0, 0, 0, 1]
        ];
    }
}

// 创建平移矩阵
function createTranslationMatrix(dx: number, dy: number, dz: number): Matrix {
    return [
        [1, 0, 0, 0], 
        [0, 1, 0, 0], 
        [0, 0, 1, 0], 
        [dx, dy, dz, 1]
     ];
}

// 创建缩放矩阵
function createScalingMatrix(sx: number, sy: number, sz: number): Matrix {
    return [
        [sx, 0, 0, 0], 
        [0, sy, 0, 0], 
        [0, 0, sz, 0], 
        [0, 0, 0, 1]
    ];
}

// 矩阵和向量相乘
function multiplyMatrixVector(matrix: Matrix, vector: Vector): Vector {
    let result: Vector = [0, 0, 0, 0];
    for (let i = 0; i < 4; i++) {
        for (let j = 0; j < 4; j++) {
            result[i] += matrix[i][j] * vector[j];
        }
    }
    return result;
}

// 矩阵投影
function createProjectionMatrix(f: number): Matrix { 
    return [
        [f, 0, 0, 0], 
        [0, f, 0, 0], 
        [0, 0, 1, 0], 
        [0, 0, -1, 0]
    ]; 
}

let vector: Vector = [1, 0, 0, 1];  // 一个在 x 轴上的向量

let rotationMatrix = createRotationMatrix('z', Math.PI / 2);  // 绕 z 轴旋转 90 度的矩阵
let translationMatrix = createTranslationMatrix(1, 0, 0);  // 沿 x 轴平移 1 的矩阵
let scalingMatrix = createScalingMatrix(2, 1, 1);  // 沿 x 轴缩放 2 的矩阵
let projectionMatrix = createProjectionMatrix(1); // 创建一个焦距为 1 的投影矩阵

vector = multiplyMatrixVector(rotationMatrix, vector);
console.log(vector);  // 应用旋转

vector = multiplyMatrixVector(translationMatrix, vector);
console.log(vector);  // 应用平移

vector = multiplyMatrixVector(scalingMatrix, vector);
console.log(vector);  // 应用缩放

vector = multiplyMatrixVector(projectionMatrix, vector); 
console.log(vector); // 应用投影

在这个示例中，我们首先创建了一个在 x 轴上的向量，然后用一个旋转矩阵、平移矩阵、缩放矩阵和投影矩阵来变换它。这些矩阵的乘法操作都是在 multiplyMatrixVector 函数中执行的。