动态规划典中典之凑零钱问题

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

1. 判断是最值问题，解题过程可以枚举，考虑动态规划；
2. 思考最后一步：加入一枚面值x的硬币，刚好凑齐总金额；硬币个数+1；
3. 定义状态数组 dp[i]：凑成金额i所需要的硬币个数
4. 推导状态方程，最后使用的硬币面值为x，则dp[i] = min(dp[i-x])+1, x in coins.
5. 确定边界条件：dp[0] = 0
6. 确定状态数组初值: dp[i] = amount / 1 + 1 在初值和边界值基础上进行迭代。

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        /* 简单场景 */
        if(amount == 0 || coins.empty()) {
            return 0;
        }
         /* 硬币面值最小1元，则次数最多 (amount/1) 次 */
        int max_cnt = amount / 1; 
        int choice_cnt = coins.size();
        /* 直接以 面值v 作为问题规模，定义状态：正好凑成 面值v 的最小次数为 min_cnt[v] 则问题的解为 min_cnt[amount];
         *  */
         /* 初始化状态数组，最终解为 min_cnt[amount]，起始为min_cnt[0]，故状态数组长度为 amount+1 ; 已知合乎题意的最大次数为 max_cnt , 故初始化为一个不可达值 max_cnt+1 */
        vector<int> min_cnt(amount+1, max_cnt+1);
        min_cnt[0] = 0;
        for(int v = 1; v <= amount; v++) {
            for(int j = 0; j < choice_cnt; j++) {
                int choice = coins[j];
                /* 只要没有超出设置当前要求面值，则可选取该枚硬币试试看 */
                if(v - choice >= 0) {
                    min_cnt[v] = min(min_cnt[v], min_cnt[v-choice]+1);
                }
            }
        }
        /* 最小次数没更新过，说明无法凑成该面值 */
        if(min_cnt[amount] == max_cnt+1) {
            return -1;
        }
        return min_cnt[amount];
    }
};