偏导函数连续和可全微分的关系对于函数 $z=f(x,y)$ 在某一点 $p_0$ 的偏导数存在并不意味着一定可微分，微分

对于函数 $z=f(x,y)$ 在某一点 $p_0$ 的偏导数存在并不意味着一定可微分，微分意味着要用那一点处的切平面去近似 $p_0$ 处的曲面. 对于各个变量（x,y）的偏导数存在只是意味着过 $p_0$ 点x，y方向曲线的切线存在，过 $p_0$ 点还存在许多其它的曲线，当过 $p_0$ 点所有曲线的切线都存在且在同一平面时，则 $z=f(x,y)$ 在 $p_0$ 点可全微.

特别的有当在 $p_0$ 处的偏导函数存在且连续时，那么 $z=f(x,y)$ 在 $p_0$ 处可微.

\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)

添项减项

\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)+f(x_0,y_0+\Delta y) - f(x_0,y_0)

\Delta z=[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)]+[f(x_0,y_0+\Delta y) - f(x_0,y_0)] \tag{2.3.0}

此时相当于一元函数（关于 $x_0+\Delta$ 的函数），对2.3.1应用拉格朗日定理 [[differential#3.Lagrange's theorem]]

f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y) \tag{2.3.1}

在区间 $I=(x_0,x_0+\Delta x)$ 中存在值 $\xi_1$ ，满足

\begin{align}f_x(\xi_1,y_0+\Delta y)=\frac{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)}{\Delta x} \\\\ f_x(\xi_1 ,y_0+\Delta y){\Delta x}=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y) \end{align}

同样对于（2.3.1）后半部分，即关于 y 的一元函数，应用拉格朗日

f_y(x_0,\xi_2)\Delta y=f(x_0,y_0+\Delta y) - f(x_0,y_0)

那么此时 $\Delta z =f_x(\xi_1 ,y_0+\Delta y){\Delta x}+f_y(x_0,\xi_2)\Delta y$

此时利用可微极限，将极限定义中的 $dz$ 换为拉格朗日所得到的 $\Delta z$

\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\frac{f_x(\xi_1 ,y_0+\Delta y){\Delta x}+f_y(x_0,\xi_2)\Delta y-[\frac{\partial z}{\partial x} \Delta x +\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y]}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}}=0

将符号同一以下，若是极限存在那么即说明得证

\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)} {\frac{ \frac{\partial z}{\partial x}|_{x=\xi_1} \Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}|_{y=\xi_2}\Delta y -\frac{\partial z}{\partial x} \Delta x -\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}}=0

而当 $\Delta x\to 0\quad \Delta y\to 0$ 那么 $\xi_1 \to \Delta x_0 \quad \xi_2\to y_0$ ^limitpremise

提出公因式

\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)} {\frac{ \Delta x(\frac{\partial z}{\partial x}|_{x=\xi_1}-\frac{\partial z}{\partial x}) +\Delta y(\frac{\partial z}{\partial y}|_{y=\xi_2}-\frac{\partial z}{\partial y}) }{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}}=0

由于偏导函数连续，那么

\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\partial z}{\partial x}|_{x=\xi_1}-\frac{\partial z}{\partial x}=0

\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\partial z}{\partial y}|_{y=\xi_2}-\frac{\partial z}{\partial y}=0

而判断

\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\Delta x}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}=? \tag{2.3.2}

\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}=? \tag{2.3.3}

若是能够得到二者的极限为有界变量，那么有界限变量和无穷小的乘积为无穷小，即可证明偏导函数连续那么函数可微.

在此处我们可以分析，当两个改变量同时趋于 0时，2.3.2 和2.3.3 的分母必然小于1，分子同样小于1，两个小于1的数字的商，的范围应当在 $(0,1)$ 之间的一个确定值，所以两个极限的值可以被确定为有界变量.

参考bilibili up.