多元函数（multivarite function）

有谁能比我知道
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1.properties

多元函数不再是平面，进入多维空间（3,4....n），将积分和微分学中的概念从一元函数向多元函数推广，其实它们的主要思想是一致的，多元函数导数说明的仍旧是函数和变量之间相互影响的变化之间的关系，微分同样仍旧是局部线性化（平面化，简单化）.

引入一些精炼的名词，通常描述某种事实，条件.

1.1 planar dot set

对一个平面引入一个直角坐标系后，平面上任意的点p 和 有序实数二元组 (x，y) 相互映射，称此类平面为坐标平面

P=R∗R={(x,y)∣x,y∈R}P=R*R=\{(x,y)|x,y\in R\}

对于平面内满足特定条件内的 p 的集合，称为平面点集,例如在平面上圈出一个半径长度为 r 的圆，那么意为着我们选择了圆内所有的点，和圆弧上的点，二者中所有的点(x,y)→p(x,y)\to p 构成了一个平面点集.

C={(x,y)∣x2+y2≤r2}C=\{(x,y)|x^2+y^2\leq r^2\}

同样可以使用原点 O 到 p 点的距离 ∣Op∣|Op| 来作为特定条件 来约束点的集合（即坐标平面上所有到原点距离不大于 r 的点的集合)

C={p∣∣Op∣≤r}C=\{p||Op|\leq r\}

对于存在平面 xOyxOy 中满足特定条件的点集合 E，一些被定义好的特殊的点的情况（特殊名词），给出定义

  1. 开集

E 中的点全为自己的 内点  [[#^innerpoint]]，那么称 E 为开集

  1. 闭集

E 的边节点 [[#^edgepoint]] 全为 E 中的点，那么E 为闭集

对于开集和闭集合，需要使用 内点和外点来区分，分清楚开集中的点全为内点，不包含边界点，而必集合中的点包含所有内点和边界点

对于

E={(x,y)∣n1<x2+y2<n2}E=\{(x,y)|n_1<x^2+y^2<n_2\}

此时 E 为一个开集合，它的所有边界点不在 E 中，而对于

E={(x,y)∣n1≤x2+y2≤n2}E=\{(x,y)|n_1\leq x^2+y^2\leq n_2\}

则是一个闭集

  1. 有界集

若 O 为圆点，则有界集

E⊂U(O,δ)E\subset U(O,\delta)

即属于原点的某个邻域，它的范围是有限的.

1.2 neighborhood

一元中的所说的某一点 p 的邻域，即以该点为中心向两侧对称展开（不限制展开长度），这样每一个具体的展开长度 l 称为p 的某一个领域，领域还有去心和非去心 [[limit#1.3 neighborhood]] .

而在二维或多维中，对于领域的定义是，若 p0p_0 为坐标平面 xOyxOy上的一个确切的点从点映射到直角坐标系中的实数有序二元组为 (x0,y0)(x_0,y_0) ∃δ>0\exists \delta\gt0 ，坐标平面中任意点p 到 p0p_0 的距离为 ∣pp0∣|pp_0|，那么 p0p_0 点的 delta 邻域可以被定义为

U(p0,δ)={P∣∣pp0∣<δ}U(p_0,\delta)=\{P||pp_0|<\delta\} 表示平面 xOyxOy 中所有到点 p0p_0 的距离小于 δ\delta 的点的集合，使用二元组表示时

U(p0,δ)={(x,y)∣(x−x0)2+(y−y0)2<δ}U(p_0,\delta)=\{(x,y)|\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\lt\delta\}

同样可以和一维一致可以分为 ，heartless neighborhood 和 normal neighborhood

对于表示 p0p_0 的去心邻域

U˚(p0,δ)={(x,y)∣0<(x−x0)2+(y−y0)2<δ}\mathring{U}(p_0,\delta)=\{(x,y)|0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\lt\delta\}

即不能取和 p0p_0 重叠的点.

其实这领域的平面点集和半径为 δ\delta 的圆是一致的.

当不在意领域的半径时，将邻域即为 U(p)U(p) ，即表示 p 的任意领域

1.3 relationship between points and point set

Pasted image 20230708165607.png

对于任意点 p ， 任意点集合 E，二者属于同一平面.

  1. 内点 P1P_1 ^innerpoint
U(p)⊂EU(p)\subset E
  1. 外点 P2P_2 ^outpoint
U(p)∩E=∅U(p)\cap E=\displaystyle \emptyset
  1. 边界点 P3P_3 ^edgepoint
U(p)∩E≠U(p)U(p)\cap E \neq \displaystyle U(p)

E 边界点的全体记为 rounded E，符号为 ∂E\partial E

  1. 聚点

∃δ>0\exists \delta \gt0 ，U˚(p,δ)∩E≠∅\mathring{U}(p,\delta)\cap E \neq \emptyset 即对于点任意点 p，存在一个半径大于 0 的任意邻域，其中总是存在 点集 E 中的点. 那么 p 称为 E 的聚点

（现在想象一个动画，点集合 E 所构成的所有点向 和 p 的 δ\delta 领域的相交处聚集，当从为微观世界的角度看，E 中有无穷的点，p 的领域中也有无穷的点，δ\delta 可以取得无穷小）

2.definition

多元函数描述 结果 （函数值）和多个变量之间的依赖关系，从圆柱体的体积

V=πr2hV=\pi r^2h

体积 V 和 半径r 高 h 所关联，在确定了 r 和h 后，可以映射到唯一的 V，

并联电阻 R1R2R_1\quad R_2 则并联后的电阻为

R=R1R2R1+R2R=\frac{{R_1R_2}}{{R_1+R_2}}

存在如下关系

{(R1,R2)∣R1∗R2>0}→R\{(R_1,R_2)|R_1*R_2>0\}\to R

确定了R1R_1 和 R2R_2 后可以确定唯一并联后的电阻 RR

好像很复合平面点集的特征，抽取出例子的共同点，给出多元函数（二元函数）的形式化定义

D 为二维坐标平面 R2R^2 的子集，D 为一个平面点集， D⊂R2D≠∅D\subset R^2 \quad D\neq \emptyset 则 称映射 ff

f:D→Rf:D\to R 为定义在 D 上的 二元函数，D 称为其的定义域，通常表示为

z=f(x,y)(x,y)∈Dz=f(p)p∈D\begin{align} z=f(x,y) \quad (x,y)\in D \\\\ z=f(p)\quad p\in D \end{align}

其中 （x，y） 为自变量，z 为因变量也即函数结果

此处的 f也就是对应法则，或者是线性代数中的 变化矩阵，从 D片面点集，映射到直线，那么 f 可以是一个投影矩阵，将二维空间中的点投影到 直线.

推广到 n 维度，存在 n维空间 RnR^n，D⊂RnD \subset R^n ，将 D 中的点映射为直线上的点的映射 f，f:D→Rf:D\to R 为定义在 D 上的 n 元函数.即为

z=f(x1,x2,⋯ ,xn)(x1,x2,⋯ ,xn)∈Dz=f(x_1,x_2,\cdots,x_n) \quad (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in D

此处{x1,x2,⋯ ,xn}∈D\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\in D 即为 RnR^n 中一个满足特定条件点集合 D 需要满足的 点

3. figure

多元的函数图像不好想象，二元的函数图像距离我们最接近，对于 空间 R2R^2 中的一个平面点集合D，在 D 上定义了二元函数 f(x,y)，依据二元函数定义，对于 D 中的任意一个 有序二元组 (x,y)(x,y) 必然存在唯一的 函数值 z，使用映射遍历整个D，得到数值 z，所以三元组 （x,y,z） 自然的形成了 3维空间的一个坐标. 若D为开集或者闭集，那么所有三元组的点的集合形成一个连续不间断的面(曲面) .

可以使用空间点集来描述这个曲面

{(x,y,z)∣z=f(x,y),(x,y)∈D}\{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)\in D\}

4.limit

对于二元函数极限，由于平面中的点 p0(x0,y0)p_0(x_0,y_0) 可以从四周逼近，所以和一元函数极限的由所区别（一元函数仅仅从两侧逼近 x0x_0 函数值无限稳定在常量值），但其思想是一致的，即当 p(x,y)p(x,y) 从无穷多个方向逼近 p0p_0 时 z 稳定在常量值附近.

所谓的逼近即 ∣p0p∣→0|p_0p|\to 0 坐标平面中两点的模趋近与 0

给出二元函数极限的定义，存在二元函数 z=f(x,y)(x,y)⊂DD⊂R2z=f(x,y) \quad (x,y)\subset D \quad D\subset R^2 存在点 p0(x0,y0)U˚(p0,δ)∩D≠∅p_0(x_0,y_0) \quad \mathring{U}(p_0,\delta)\cap D\neq \emptyset 即 p0p_0 为 D 的聚点 存在另一点 p∈U˚(p0,δ)∩Dp\in \mathring{U}(p_0,\delta)\cap D

如果存在常数 A ，对于 ∀δ\forall \delta 满足

∣f(x,y)−A∣<δ|f(x,y)-A|\lt\delta

即 在 p0p_0 的邻域内存在一点 p，函数值 f(p) 稳定在某个常数周围. （也就意味道着，在 p0p_0 的邻域附近（x，y，z），所形成的曲面面和平面近似？）

使用极限符号描述为

lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=A\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A

即当 点集 E 中的点p(x,y)往 p0p_0 不断逼近时，二元函数的极限为 A

其实如果从一元极限往二元极限推广，要求从任意方向趋近点 p0p_0，但在实际给定的定义中，我们并不要求从任意方向趋近于 p0p_0 因为对于给定的函数 和任意给定的点，我们不总是奢求函数的定义域包含任意点 p0p_0，其实对于极限也不需要 p0p_0 被包含在定义域中，但函数 定义域 E 中的点需要趋近于 p0p_0，所以要求定义域和 p 的任意领域有交集合(领域半径大于 0).

可以对比一元中的定义域，和多元中的定义域，一元定义域大多为全体实数，而多元中的定义域需要满足特定条件.

5.continuity

一元函数的连续性在几何意义上是函数值所形成的图像 (直线或曲线) 是不中断的. 从代数意义上即 函数值和趋近于该点时的极限值一致. [[limit#2.function limit]]

在二元函数中，意义和一元函数大致是一致的，函数值和极限值一致，在几何意义上也是所形成的曲面是连续不断的.

若是需要判定函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在点 p0p_0 处连续，那么就存在

lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0) \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}{f(x,y)}=f(x_0,y_0)

（连续是由极限来定义的，无论是多元函数还是一元函数的极限，都是从 被允许可以趋近于某一定点的方向，z 的值稳定为一个常数，若是不稳定就会出现一点的周围出现断层，即不连续）

5.1 continue among interval

当 函数 z=f(x,y)z=f(x,y) ，在点集合E上有定义，即 f(x,y)f(x,y) 的定义域 DfD_f 被包含在 E中， 且 E 内的每一点都是 DfD_f的聚点，即 E 中的点都和 DfD_f 中的点的某一邻域存在交集. 若 f(x,y)f(x,y) 在 E 中任意一点处的极限值都和 函数值一致，f(x,y)f(x,y) 是 D 上的连续函数.

即 z=f(x,y)z=f(x,y) 在平面点集 E 中，每一点处都连续

  1. E 内的每一点都是 DfD_f的聚点 （要求极限的先决条件）

5.2 maximum theorem

存在函数 z=f(x,y)z=f(x,y) ，定义域为 D，从定义域中取一个子集（有界闭区域） E，若 f(x,y) 是 E 上的连续函数，那么在 p(x,y)∈Ep(x,y) \in E 中，f(x,y)f(x,y) 在 E 上必然取的 最大值 M 和最小值 m . 以及所有介于 (m,M) 间的值.

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