【线性代数】线性方程组

ZacharY
213 阅读9分钟

文章内容

  • 行向量与列向量
  • 齐次方程组
  • 非齐次方程组
  • 克拉默法则
  • 方程的公共解和同解

行向量与列向量

通过矩阵分块将矩阵按行进行分块得到行向量，按列分块得到列向量

如：A=[a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34]A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{bmatrix}

按行分得到 3 个行向量：{[a11a12a13a14]=α1[a21a22a23a24]=α2[a31a32a33a34]=α3→[α1α2α3]→[α1α2α3]T\begin{cases} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \end{bmatrix} =\alpha_1\\ \begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \end{bmatrix} = \alpha_2 \\ \begin{bmatrix} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{bmatrix} = \alpha_3 \end{cases} \rightarrow \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \end{bmatrix}^T

按列分得到 4 个列向量：{[a11a21a31]=β1[a12a22a32]=β2[a13a23a33]=β3[a14a24a34]=β4⟶[β1β2β3β4]→[β1β2β3β4]T\begin{cases} \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{bmatrix} = \beta_1 \\ \\ \begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{bmatrix} = \beta_2 \\ \\ \begin{bmatrix} a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{bmatrix} = \beta_3 \\ \\ \begin{bmatrix} a_{14} \\ a_{24} \\ a_{34} \end{bmatrix} = \beta_4 \end{cases} \longrightarrow \begin{bmatrix} \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 & \beta_4 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \\ \beta_4 \end{bmatrix}^T

齐次方程组

认识齐次方程组

等于 0 的方程被称为齐次方程，多个齐次方程组成的方程组被称为齐次方程组

如：{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0⋮⋮⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=0\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \quad \vdots \qquad \quad \vdots \qquad \qquad \qquad \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0 \\ \end{cases}

用矩阵表示齐次方程组

令 ：A=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮am1am2⋯amn]，x=[x1x2⋮xn]A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}，x= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}

则有：A∗x=[a11x1+a12x2+⋯+a1nxna21x1+a22x2+⋯+a2nxn⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn]=0 A*x = \begin{bmatrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n \\ \vdots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n \end{bmatrix} = 0

  • AA 为系数矩阵，xx 为列向量

其中：

  • mm 是系数矩阵 AA 的行数，也是方程的个数
  • nn 是未知数 xx 的个数，也是矩阵 AA 的列数

求系数矩阵的秩

为了解方程需要求解系数矩阵的秩，只能用行变换不能用列变换

例：系数矩阵 A=[122121−2−21−1−4−3]A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 & -2 \\ 1 & -1 & -4 & -3 \end{bmatrix}，求 R(A)R(A).

矩阵 AA 进行初等变换：A=[122121−2−21−1−4−3]∼[12210−3−6−40000]A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 & -2 \\ 1 & -1 & -4 & -3 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -6 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

则 R(A)=2R(A)=2.

齐次方程组的解

齐次方程组有解的条件

  • Ax=0Ax=0 只有零解 ↔R(A)=n\leftrightarrow R(A)=n
  • Ax=0Ax=0 有非零解 ↔R(A)<n\leftrightarrow R(A)<n
  • 若 m<nm<n ，方程少而未知数多，则 Ax=0Ax=0 有非零解
    • 若齐次方程组有非零解，则将有无穷多个解
    • 若 Ax=0Ax=0 有非零解，则其线性无关的解有 n−R(A)n-R(A) 个

零解：未知数 xx 都为0，观察齐次方程组易得，其一定是有零解的，重点是有没有非零解，有非零解就意味着有无穷多个解了(无穷多个未知数组合)

线性无关解：若两个解是线性无关解，意思是这两个解之间线性无关，下面会提到. 若有两个线性无关解，则多一个少一个都不行，只能找到这两个解来表示无穷多个解

表示齐次方程组的无穷个解

例如对于 x1+x2=0x_1 + x_2 = 0，x1x_1 和 x2x_2 的组合可以有无穷多个，也就是该方程有无穷个解，但我们可以从这无穷多个解中找出几个有代表性的解来表示这无穷多个解.

设某齐次方程组系数矩阵为 AA，未知参数 xx 有 nn 个，则该齐次方程组我们可以找出 n−R(A)n-R(A) 个解来代表其无穷多个解.

代表无穷解的解的个数：n−R(A)n-R(A)

对于我们在求系数矩阵的秩中的案例，我们将系数矩阵 AA 通过初等变换得到了对应的行阶梯矩阵 A=[122121−2−21−1−4−3]∼[12210−3−6−40000]A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 & -2 \\ 1 & -1 & -4 & -3 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -6 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

对于这个行阶梯矩阵，我们可以写出一个新的齐次方程组： {x1+2x2+2x3+x4=0−3x2−6x3−4x4=0\begin{cases} x_1+2x_2+2x_3+x_4 = 0 \\ -3x_2 -6x_3-4x_4 = 0 \end{cases}

观察得知，若已知 x3，x4x_3，x_4 这 2 个参数的值，则可求得 x2x_2，进而可求得 x1x_1

此外，已知R(A)=2<4R(A)=2 < 4，该齐次方程组有非零解，且 n−R(A)n-R(A) 恰好为 2

系数矩阵经过初等变换得到对应的行阶梯矩阵，这两个矩阵是等价的，它们对应的齐次方程组也是等价的，也就是这两个矩阵对应的齐次方程组的解是相同的

在此之前，先引入一些新的定义再继续说明

方程中的主元与自由变量

定义：行阶梯矩阵中每行左起第一个不为零的元素代表的未知数叫主元，剩下的变量叫做自由变量

如：系数矩阵对应的行阶梯矩阵 A=[12210−3−6−40000]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -6 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 中，x1，x2x_1，x_2 为主元，x3，x4x_3，x_4 为自由变量

继续对上方案例进行探讨，已知 n−R(A)n-R(A) 表示用几个解来代表无穷多个解，也表示应该确定的自由变量的个数

自由变量与基础解系

对于之前行阶梯矩阵对应的齐次方程组 {x1+2x2+2x3+x4=0−3x2−6x3−4x4=0\begin{cases} x_1+2x_2+2x_3+x_4 = 0 \\ -3x_2 -6x_3-4x_4 = 0 \end{cases}

对自由变量 x3,x4x3, x4 进行赋值：

① ：{x3=0x4=1\begin{cases} x_3 = 0 \\ x_4 = 1 \end{cases}，求得: {x1=53x2=−43\begin{cases} x_1 = \frac {5}{3} \\ x_2 = -\frac {4}{3} \end{cases}\qquad ②: {x3=1x4=0\begin{cases} x_3 = 1 \\ x_4 = 0 \end{cases}，求得：{x1=2x2=−2\begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 = -2 \end{cases}

得到 2 个基础解系：① [53−4301]\begin{bmatrix} \frac {5}{3} \\ -\frac {4}{3} \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \quad ②[2−210]\begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}

K1,K2K_1, K_2 分别是两个任意的数

表示该齐次方程组的无穷个解： K1[53−4301]+K2[2−210]K_1\begin{bmatrix} \frac {5}{3} \\ -\frac {4}{3} \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} +K_2\begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}

  • 被称为该齐次方程组的通解

即：[x1x2x3x4]=K1[53−4301]+K2[2−210](K1，K2∈R)\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = K_1\begin{bmatrix} \frac {5}{3} \\ -\frac {4}{3} \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} +K_2\begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad (K_1，K_2 \in R)

自由变量的赋值

自由变量的赋值时有规律的

  • 1 个自由变量：赋值为 (1)(1)
  • 2 个自由变量：赋值为 (0,1)(0,1) 和 (1,0)(1, 0)
  • 3 个自由变量：赋值为 (1,0,0)(1,0,0)，(0,1,0)(0,1,0)，(0,0,1)(0,0,1)
  • ⋯\quad \cdots

方程的通解

解释为什么基础解系与任意数相乘后相加得到方程的通解

定理：若 ξ1,ξ2,⋯ ,ξt\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_t 都是Ax=0Ax=0的解，则K1ξ1+K2ξ2+⋯+KtξtK_1\xi_1+K_2\xi_2+\cdots+K_t\xi_t 仍是 Ax=0Ax=0 的解

齐次方程组 Ax=0(Am∗nxn∗1=Om∗1)Ax=0 \quad(A_{m*n}x_{n*1}=O_{m*1})

每一个基础解系其实就是齐次方程组对应的一个解，基础解析乘以任意数再相加仍然是该齐次方程组对应的解，KK 为任意数，因此能表示任意解

非齐次方程组

非齐次方程组与增广矩阵

齐次方程组中每个方程右侧等于0，而非齐次方程组中每个方程右侧不等于0 如：

  • 齐次方程组：{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0⋮⋮⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=0，(Am∗nxn∗1=0m∗1)\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \quad \vdots \qquad \quad \vdots \qquad \qquad \qquad \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0 \\ \end{cases}， (A_{m*n}x_{n*1}=0_{m*1})

  • 非齐次方程组：{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮⋮⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm，(Am∗nxn∗1=bm∗1)\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \quad \vdots \qquad \quad \vdots \qquad \qquad \qquad \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases}，(A_{m*n}x_{n*1}=b_{m*1})

0 和 b 都是列向量.

非齐次方程组中也有系数矩阵，其定义与齐次方程组中的系数矩阵是相同的。

在系数矩阵中将每个方程的右侧结果放在右侧纵向排列形成的矩阵被称为增广矩阵

如：上方非齐次方程组中，有：

  • 系数矩阵：[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮am1am2⋯amn]\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}

  • 增广矩阵 ( [A∣b] [ A|b ] )：[a11a12⋯a1nb1a21a22⋯a2nb2⋮⋮⋮⋮am1am2⋯amnbm]\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{bmatrix}

非齐次方程组的解

与齐次方程组相比：

  • 齐次方程组一定是有解的，其至少有一个零解
  • 非齐次方程组有时候有解，有时候无解，有时候解是唯一的，有时候解是不唯一的

非齐次方程组有解的条件：

  • Ax=b无解↔R(A)≠R(A∣b)Ax=b \quad 无解 \quad \leftrightarrow \quad R(A) \neq R(A|b)
  • Ax=b有唯一解↔R(A)=R(A∣b)=nAx=b \quad 有唯一解 \quad \leftrightarrow \quad R(A) = R(A|b) = n
  • Ax=b有无穷多解↔R(A)=R(A∣b)<nAx=b \quad 有无穷多解 \quad \leftrightarrow \quad R(A) = R(A|b) < n

例：求解非齐次方程组 {x1−2x2+3x3−x4=13x1−x2+5x3−3x4=22x1+x2+2x3−2x4=3\begin{cases} x_1 - 2x_2 +3x_3 - x_4 = 1 \\ 3x_1 -x_2 +5x_3 -3x_4=2 \\ 2x_1 + x_2 +2x_3 - 2x_4 = 3 \end{cases}

对该非齐次方程组对应的增广矩阵进行初等行变换：

B=[1−23−113−15−32212−23]∼[1−23−1105−40−100002]B=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & 5 & -3 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -2 & 3 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & 5 & -4 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}

故 R(A)=2，R(A∣b)=3，R(A)≠R(A∣b)R(A)=2，R(A|b)=3，R(A) \neq R(A|b)

该非齐次方程组 无解.

初等行变换时，矩阵左侧是系数矩阵，整体是增广矩阵

例：求解非齐次方程组 {x1+x2−3x3−x4=13x1−x2−3x3+4x4=4x1+5x2−9x3−8x4=0\begin{cases} x_1+x_2-3x_3-x_4=1 \\ 3x_1-x_2-3x_3+4x_4=4 \\ x_1+5x_2-9x_3-8x_4=0 \end{cases}

对该非齐次方程组对应的增光矩阵进行初等行变换：

B=[11−3−113−1−34415−9−80]∼[11−3−110−467100000]B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & -3 & 4 & 4 \\ 1 & 5 & -9 & -8 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & 6 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

故 R(A)=R(A∣b)=2≠4R(A) = R(A|b)=2 \neq 4，该非齐次方程组有 无穷多解，且有 4−R(A)=24-R(A)=2 个自由变量

观察系数矩阵可得，x1,x2x_1, x_2 为主元，x3，x4x_3，x_4 为自由变量

构建对应齐次方程组：{x1+x2−3x3−x4=0−4x2+6x3+7x4=0\begin{cases} x_1 + x_2 - 3x_3 - x_4 = 0 \\ -4x_2 + 6x_3 + 7x_4 = 0 \end{cases}

可得基础解系：[323210][−347401]\begin{bmatrix} \frac {3}{2} \\ \frac {3}{2} \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} -\frac {3}{4} \\ \frac {7}{4} \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}，通解：K1[323210]+K2[−347401]K_1\begin{bmatrix} \frac {3}{2} \\ \frac {3}{2} \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} +K_2\begin{bmatrix} -\frac {3}{4} \\ \frac {7}{4} \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

构建方程组求特解：{x1+x2−3x3−x4=1−4x2+6x3+7x4=1\begin{cases} x_1 + x_2 - 3x_3 - x_4 = 1 \\ -4x_2 + 6x_3 + 7x_4 = 1 \end{cases}

令自由变量 x3，x4x_3，x_4 为 0，可得特解：[54−1400]\begin{bmatrix} \frac {5}{4} \\ -\frac {1}{4} \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

故该非齐次方程组的通解为：K1[323210]+K2[−347401]+[54−1400]K_1\begin{bmatrix} \frac {3}{2} \\ \frac {3}{2} \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} +K_2\begin{bmatrix} -\frac {3}{4} \\ \frac {7}{4} \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac {5}{4} \\ -\frac {1}{4} \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

即：[x1x2x3x4]=K1[323210]+K2[−347401]+[54−1400](K1，K2)∈R\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = K_1\begin{bmatrix} \frac {3}{2} \\ \frac {3}{2} \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} +K_2\begin{bmatrix} -\frac {3}{4} \\ \frac {7}{4} \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac {5}{4} \\ -\frac {1}{4} \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \quad (K_1，K_2) \in R

非齐次方程组无穷多解的求解方式与齐次方程组无穷多解的求解方式基本相同，但对于前者需要在求出通解基础之上再加上一个特解

求通解时，等式右侧为 0 ；求特解时，等式右侧为 bb

在求特解的时候，自由变量都赋值为 0

齐次方程组通解 + 非齐次方程组特解 = 非齐次方程组通解

非齐次方程组求解过程总结

  1. 写出对应增广矩阵并经过初等行变换得到对应行阶梯矩阵
  2. 比较 系数矩阵的秩 (R(A)R(A)) 和 增广矩阵的秩 (R(A∣b)R(A|b)) 和 未知数数量 (nn)
    • 若 R(A)≠R(A∣b)R(A)\neq R(A|b)，无解
    • 若 R(A)=R(A∣b)=nR(A)=R(A|b)=n，有唯一解
    • 若 R(A)=R(A∣b)<nR(A)=R(A|b)<n，有无穷解
      1. 写出新的方程组，右侧等于0，求通解
      2. 写出新的方程组，右侧等于对应值，求特解
      3. 齐次方程组通解 + 非齐次方程组特解 = 非齐次方程组通解

克拉默法则

克拉默法则：

  • 对于非齐次方程组，nn 个方程， nn 个未知数的方程组 Ax=bAx=b (系数矩阵为方阵) 的系数矩阵对应的行列式 ∣A∣≠0|A|\neq 0，则该方程组有唯一解.
  • 对于齐次方程组，nn 个方程， nn 个未知数的方程组 Ax=bAx=b (系数矩阵为方阵) 的系数矩阵对应的行列式 ∣A∣≠0|A|\neq 0，则该方程组只有零解.

对 齐次/非齐次 方程组都是适用的

对于非齐次方程组，若 ∣A∣=0|A|=0 ，则要进一步比较系数矩阵和增广矩阵的秩来确定是无穷多个解还是无解

对于齐次方程组，若 ∣A∣=0|A|=0，则有非零解 (无穷多解)

利用克拉默法则求非齐次方程组唯一解

例：求解非齐次方程组 {x1−x2−x3=22x1−x2−3x3=13x1+2x2−5x3=0\begin{cases} x_1-x_2-x_3=2 \\ 2x_1-x_2-3x_3=1 \\ 3x_1+2x_2-5x_3=0 \end{cases}

系数矩阵和增广矩阵：A=[1−1−12−1−332−5]，B=[1−1−122−1−3132−50]A=\begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & -3 \\ 3 & 2 & -5 \\ \end{bmatrix}，B=\begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & -5 & 0 \\ \end{bmatrix}

易得 ∣A∣=3≠0|A|=3 \neq 0，该方程组有唯一解

  • x1=∣A1∣∣A∣=13∣2−1−11−1−302−5∣=5x_1 = \frac{|A_1|}{|A|} = \frac{1}{3} \begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -3 \\ 0 & 2 & -5 \\ \end{vmatrix}= 5

  • x2=∣A2∣∣A∣=13∣12−121−330−5∣=0x_2 = \frac{|A_2|}{|A|} = \frac{1}{3} \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 3 & 0 & -5 \\ \end{vmatrix}= 0

  • x1=∣A1∣∣A∣=13∣1−122−11320∣=3x_1 = \frac{|A_1|}{|A|} = \frac{1}{3} \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \\ \end{vmatrix}= 3

∣An∣|A_n| 就是用结果向量 bb 替换系数矩阵 AA 对应的行列式中的第 nn 列

克拉默法则对求唯一解中解的计算用的不多，用的较多的还是在判断是否有 唯一解/零解 上

方程的公共解和同解

公共解和同解的定义

公共解：若 α\alpha 是 Ax=0Ax=0 的解，也是 Bx=0Bx=0 的解，则称 α\alpha 为 Ax=0Ax=0 和 Bx=0Bx=0 的公共解

同解：Ax=0Ax=0 的解是 Bx=0Bx=0 的解，且 Bx=0Bx=0 的解也是 Ax=0Ax=0 的解，则称 Ax=0Ax=0 与 Bx=0Bx=0 同解

公共解就是一个解既是 AA 的解又是 BB 的解，那它就是 AA 和 BB 的公共解，如果 AA 和 BB 的解完全一样，就称 AA 和 BB 同解

推论：Ax=0与Bx=0同解→R(A)=R(B)Ax=0 与 Bx=0 同解\quad \rightarrow \quad R(A)=R(B)

反之不成立

公共解的求解思路

公共解求法：例如求方程组 II 和方程组 IIII 的公共解，则只需将两方程组放在一起，看成一个方程组，求出来的解自然就是公共解

例：设四元齐次方程组 I：{x1+x2=0x2−x4=0I：\begin{cases} x_1+x_2=0 \\ x_2-x_4=0 \end{cases}，II：{x1−x2+x3=0x2−x3+x4=0II：\begin{cases} x_1-x_2+x_3=0 \\ x_2-x_3+x_4=0 \end{cases}，求：(1) 方程组 II 与 IIII 的基础解系；(2) II 与 IIII 的公共解.

观察两方程组得知：方程个数小于未知数个数，因此都有无穷个解

(1) 方程组 II 与 IIII 的基础解系

易得系数矩阵 I：[1100010−1]I：\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}，II：[1−11001−11]II：\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}

这两个系数矩阵符合行阶梯矩阵的定义，因此不用再变换了

则：

  • I：x1，x2I：x_1，x_2 为主元，x3，x4x_3，x_4 为自由变量，R(I)=2R(I)=2
  • II：x1，x2II：x_1，x_2 为主元，x3，x4x_3，x_4 为自由变量，R(II)=2R(II)=2

易得基础解系：I：[0010][−1101]I：\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}，II：[0110][−1−101]II：\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

(2) II 与 IIII 的公共解

{x1+x2=0x2−x4=0x1−x2+x3=0x2−x3+x4=0\begin{cases} x_1 + x_2 = 0 \\ x_2 - x_4 = 0 \\ x_1 - x_2 + x_3 = 0 \\ x_2 - x_3 + x_4 = 0 \end{cases}， 系数矩阵：A=[1100010−11−11001−11]A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}

系数矩阵初等行变换得到对应行阶梯矩阵：A∼[1100010−1001−20000]A \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

R(A)=3<n(4)R(A)=3 < n(4) ，该方程组有无穷多解，自由变量数为n−R(A)=1n-R(A)=1

易得 x1，x2，x3x_1，x_2，x_3 为主元，x4x_4 为自由变量

行阶梯矩阵对应的齐次方程组：{x1+x2=0x2−x4=0x3−2x4=0\begin{cases} x_1 + x_2 = 0 \\ x_2 -x_4 = 0\\ x_3 - 2x_4 = 0 \end{cases}

可得基础解系：[−1121]\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}

故 II 与 IIII 的公共解为 [x1x2x3x4]=K[−1121](K∈R)\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = K\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \quad (K \in R)

只有一个自由变量时仅赋值1，不考虑赋值0的情况(零解)

同解与秩的关系

若 Ax=0Ax=0 与 Bx=0Bx=0 同解，也就是两方程组的通解完全一样，则 nn 和自由变量数也是相同的，不难得到n−R(A)=n−R(B)→R(A)=R(B)n-R(A)=n-R(B) \rightarrow R(A)=R(B)，也就是两系数矩阵的秩也是相同的

若两方程组同解，则量方程组对应系数矩阵的秩相等

在矩阵的秩的时候学过公式 R(A)=R(AAT)=R(ATA)=R(AT)R(A)=R(AA^T)=R(A^TA)=R(A^T) ，如何证明呢？

  • 若想要证明 R(A)=R(ATA)R(A)=R(A^TA)，只需要证明 Ax=0Ax=0 和 ATAx=0A^TAx=0 是同解方程

同解方程的求解思路

证明两次

  • 证明方程组 AA 的解是方程组 BB 的解
  • 证明方程组 BB 的解是方程组 AA 的解

例：证明R(A)=R(ATA)R(A)=R(A^TA)

  • 若 xx 满足 Ax=0Ax=0 ，则令 x=Ax，A=ATx = Ax，A=A^T，有 AT(Ax)=0A^T(Ax)=0，即(ATA)x=0(A^TA)x=0
  • 若 xx 满足 (ATA)x=0(A^TA)x=0，则令 x=ATAx，A=xTx=A^TAx，A=x^T，有 (xTAT)(Ax)=0(x^TA^T)(Ax)=0，也就是 (Ax)T(Ax)=0(Ax)^T(Ax)=0，令 β=Ax\beta=Ax，则有 (β)Tβ=0(\beta)^T\beta=0，不难得到 β=Ax=0\beta = Ax = 0

综上，方程组 Ax=0Ax=0 与 ATAx=0A^TAx=0 同解，因此可证 R(A)=R(ATA)R(A)=R(A^TA)

AxAx 的形状与 xx 相同，都是 n∗1n*1

为什么 ((β)Tβ=0)→(β=0)((\beta)^T\beta=0) \rightarrow (\beta=0) ？

  • (β=Ax)→β是一个列向量(\beta = Ax) \rightarrow \beta是一个列向量

  • 设 β=[a1a2⋮an]\beta = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}，则 (β)Tβ=[a1a2⋯an][a1a2⋮an]=∑i=1nai2(\beta)^T\beta=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} = \sum_{i=1}^{n}a_i^2，不难看出 β\beta 为零矩阵

从上面的过程不难看出，第一步我们证明第一个式子等价于另一个式子，相当于证明前者的解也是后者的解，第二步同理

avatar
文章
阅读
粉丝