【线性代数】矩阵基础 (2)

ZacharY
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文章内容

  • 矩阵的初等变换
  • 初等矩阵
  • 矩阵的秩
  • 矩阵分块

矩阵的初等变换

逆矩阵的求法

  • 针对抽象矩阵：
    1. 定义法
      • AA 和 BB 都是 nn 阶矩阵，求得 AB=EAB=E，则 A−1=BA^{-1}=B
  • 针对具象矩阵：
    1. AA∗=A∗A=∣A∣EAA^*=A^*A=|A|E \quad (仅针对二、三阶矩阵，超过三阶不考虑，计算太麻烦)
      • 若 ∣A∣≠0|A| \neq 0，则 A−1=A∗∣A∣，(A∗)−1=A∣A∣A^{-1}=\frac {A^*}{|A|}，(A^*)^{-1}=\frac {A}{|A|}
    2. 初等变换
      • (A∣E)=(E∣A−1)(A|E)=(E|A^{-1})

    矩阵 AA 和 EE 横向排列时，只能用初等变换

针对具象矩阵，用的最多的就是初等变换

初等变换

  1. 用一个非零常数 KK 乘以矩阵 AA 的某一 行/列
  2. 互换矩阵 AA 的某两 行/列
  3. 将矩阵 AA 的某 行/列 的 KK 倍加到另一 行/列

矩阵进行一次以上任一操作，则被称为进行了一次初等变换

碰到三阶矩阵求逆，如果比较麻烦，也可以用初等变换

如：

  • 矩阵中的某一 行/列 乘以一个数：
    • A=[123456789]∼第一行乘2[246456789]A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\stackrel{第一行乘2}{\sim}\begin{bmatrix}2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}
  • 某一 行/列 乘以一个数后加到另一 行/列：
    • A=[123456789]∼第一行乘2加到第二行[1236912789]A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\stackrel{第一行乘2加到第二行}{\sim}\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 6 & 9 & 12 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}
  • 两 行/列 互换：
    • A=[123456789]∼第一行和第二行互换[456123789]A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\stackrel{第一行和第二行互换}{\sim}\begin{bmatrix}4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}

与行列式对比，矩阵初等变换的第三项行列式需要改变符号，但矩阵不需要

对于行列式恒等变换，是恒等的，也就是中间是等号，而矩阵初等变换则是由一个矩阵变成了另一个矩阵，是不相同的，矩阵初等变换后数据改变，但秩不变，变换前后两个矩阵是等价的，下面会说明

利用初等变换求逆矩阵

已知矩阵 AA，找一个和矩阵 AA 形状一样的单位矩阵 EE，横向将矩阵 EE 拼接在矩阵 AA 的右边，经过数次初等变换后将新的矩阵的左边(原位矩阵 AA 的位置)变换为矩阵 EE 的形式，得到的新矩阵的右边(原为矩阵 EE 的位置)为原矩阵 AA 的逆矩阵

例：设 A=[0−2130−2−230]A=\begin{bmatrix}0 & -2 & 1 \\ 3 & 0 & -2 \\ -2 & 3 & 0 \end{bmatrix}，证明 AA 可逆，并求 A−1A^{-1}.

① 证明 AA 可逆

∣A∣=0+(−8)+9−0=1∣A∣≠0,故A可逆.\begin{align} &|A|=0+(-8)+9-0=1 \notag \\ &|A| \neq 0,故A可逆. \end{align}

② 初等变换法求A−1A^{-1} (也可以用 A−1=1∣A∣A∗A^{-1}=\frac {1} {|A|}A^*，这里不再说明)

(A∣E)=(E∣A−1)(A|E)=(E|A^{-1})

与 AA 相同形状的单位矩阵 E=[100010001]E=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}，则(A∣E)=[0−2110030−2010−230001](A|E)=\begin{bmatrix} 0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

初等变换： [0−2110030−2010−230001]∼r1↔r2r3∗3+2r2[30−20100−2110009−4023]∼r3∗2+9r2\begin{bmatrix} 0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \stackrel{\stackrel {r_3*3+2r_2}{r_1 \leftrightarrow r_2}} {\sim} \begin{bmatrix} 3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & -4 & 0 & 2 & 3 \end{bmatrix} \stackrel {r_3*2+9r_2} {\sim}

[30−20100−21100001946]∼r2−r3r1+2r3[300189120−20−8−4−6001946]∼r2/−2r1/3\begin{bmatrix} 3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6 \end{bmatrix} \stackrel {\stackrel {r_1+2r_3} {r_2-r_3}} {\sim} \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & 18 & 9 & 12 \\ 0 & -2 & 0 & -8 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6 \end{bmatrix} \stackrel {\stackrel {r_1 / 3} {r_2 / {-2}}} {\sim}

[100634010423001946]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 6 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6 \end{bmatrix}

变换结束得到 (E∣A−1)(E|A^{-1}) 的形式，则 A−1=[634423946]A^{-1}=\begin{bmatrix}6 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 \\ 9 & 4 & 6 \end{bmatrix}

通过这道例题也可以看出，在初等变换的时候，按照 先将左边对角线上以外位置的元素变换为0，再将对角线上元素变为1 这样的思路进行变换

需要注意的是，若将单位矩阵 EE 横向拼接在矩阵 AA 的右侧，则只能用 行 的初等变换，若将单位矩阵 EE 纵向拼接在矩阵 AA 的下侧，则只能用 列 的初等变换

一般情况下我们都是用横向的行变换，无论是行变换还是列变换都是一样的

初等矩阵

初等矩阵的定义

初等矩阵：由单位矩阵 EE 经过一次初等变换得到的矩阵叫做初等矩阵

初等矩阵的性质：初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵

初等变换有三种形式，因此初等矩阵也有三种形式

如：

① E=[100010001]P1=[100020001]P1−1=[1000120001]\qquad E=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad P_1=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad P_1^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac 1 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

② E=[100010001]P2=[010100001]P2−1=[010100001]\qquad E=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad P_2=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad P_2^{-1}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

③ E=[100010001]P3=[100210001]P3−1=[100−210001]\qquad E=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad P_3=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad P_3^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

① ：第二 行/列 乘以2。如果是乘以 KK 的话，那逆矩阵对应 行/列 乘以 1K\frac {1} {K}

② ：第一 行/列 和第二 行/列 交换位置。这种方式逆矩阵和初等矩阵一样

③ ：第一 行/列 乘以2后加到第一 行/列 上。某一 行/列 乘以 KK 倍加到另一 行/列 上，对应的逆矩阵为某一 行/列 乘以 −K-K 倍加到另一 行/列 上

初等矩阵和普通矩阵

左行右列

  • 矩阵 AA 左乘初等矩阵，相当于对 AA 做了一次同类型的初等行变换
  • 矩阵 AA 右乘初等矩阵，相当于对 AA 做了一次同类型的初等列变换

例：设 A=[123456789]P=[1000−20001]A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\quad P=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}，求PA，AP.

  • E=[100010001]∼r2∗−2P=[1000−20001]E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \stackrel {r_2*{-2}} {\sim} P=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

    EE 第二行乘以-2得到矩阵 PP

  • AA 左乘 PP：PA=[123−8−10−12789]PA=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ -8 & -10 & -12 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}，AA 右乘 PP：PA=[1−434−1067−169]PA=\begin{bmatrix}1 & -4 & 3 \\ 4 & -10 & 6 \\ 7 & -16 & 9 \end{bmatrix}

    左/右 乘初等矩阵，矩阵 AA 做一次和 PP 同样的初等变换 (第 2 行/列 乘以-2)

例：已知 3 阶矩阵 AA 可逆，将 AA 的第 2 列和第 3 列交换得到矩阵 BB，再把矩阵 BB 的第 1 列的 -2 倍加至第三列得到矩阵 CC，求满足 PA−1=C−1PA^{-1}=C^{-1} 的矩阵 PP .

AA 的第 2 列和第 3 列交换得到矩阵 BB： B=A[100001010]B=A\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}

BB 的第1列的 -2 倍加至第3列得到 CC：C=B[10−2001010]=A[100001010][10−2001010]C=B\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = A\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}

则易得：C−1=(A[100001010][10−2001010])−1=[102001010][100001010]A−1C^{-1} = (A\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix})^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}A^{-1}

(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}，同理，(ABC)−1=C−1B−1A−1(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}

证明：过程比较简单，因为矩阵乘以矩阵还是一个矩阵，因此对于(ABC)^{-1}可以先把BC看成一个整体，则得到 (BC)−1A−1(BC)^{-1}A^{-1}，再对 (BC)−1(BC)^{-1} 单独求出即可，结果为 C−1B−1A−1C^{-1}B^{-1}A^{-1}

初等矩阵求逆参照上面提到过的公式

由 PA−1=C−1PA^{-1}=C^{-1} 得： PA−1=[102001010][100001010]A−1PA^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}A^{-1}

即： P=[102001010][100001010]=[120010001]P = \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

乘以初等矩阵，按照初等变换进行相同的变换即可

矩阵的秩

矩阵等价

矩阵 AA 经过有限次初等变换得到 BB，称矩阵 AA 和 BB 等价，记作 A∼BA \sim B (考研用的符号是 =∼\stackrel{\sim} {=})

矩阵等价的充要条件

  • A∼B⟷A \sim B \longleftrightarrow 存在可逆矩阵 PP 和 QQ 使得 PAQ=B⟷R(A)=R(B)PAQ=B \longleftrightarrow R(A)=R(B)
  • 一般直接记：A∼B⟷R(A)=R(B)A \sim B \longleftrightarrow R(A)=R(B)

R(A)R(A) 表示 矩阵 AA 的秩，矩阵 AA 和 BB 等价则两矩阵秩相同，反之也成立。

初等变换保秩 (不改变矩阵的秩)

定义法求矩阵的秩

矩阵 AA 中非零子式的最高阶数称为矩阵 AA 的秩，记作 R(A)R(A)

子式就是行列式，矩阵 AA 的子式就是指矩阵 AA 对应的行列式中包含的子行列式

行列式本质上就是一个数值，非零子式就是指值不为0的行列式

例：A=[123246]A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}，求矩阵 AA 的秩

矩阵 AA 的 2 阶子式 (2*2)： [1224][2346][1326]\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}，这 3 个子式值都为 0

矩阵 AA 的 1 阶子式 (1*1)：[1][2][3][4][5][6][1] \quad [2] \quad [3] \quad [4] \quad [5] \quad [6]，这 6 个子式都是非零子式

非零子式的最高阶为1，因此 R(A)=1R(A)=1

例：求矩阵 AA 的秩，其中 A=[12323−5471]A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & -5 \\ 4 & 7 & 1 \end{bmatrix}

AA 的3阶子式只有一个，∣A∣=∣12323−5471∣=0|A|=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & -5 \\ 4 & 7 & 1 \end{vmatrix}=0

AA 的二阶子式中，易得 ∣1223∣≠0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} \neq 0，则 R(A)=2R(A)=2.

利用行阶梯矩阵求矩阵的秩

定义法求矩阵的秩相对比较麻烦，该方法更简单

行阶梯矩阵：元素全为零的行 (如果存在) 在最后一行，并且每行从左往右开始数第一个非零元素所在列的下方元素全为0，这种矩阵被称为行阶梯矩阵。

如：image.png

这种矩阵因为在非零元素和零元素的分界线像是一个阶梯，且是按行定义，所以被称为行阶梯矩阵

矩阵 AA 的秩等于它对应的行阶梯矩阵非零行的行数

行阶梯矩阵有 nn 行不是全为零，则秩就为 nn

如：A=[123401230000]，R(A)=2A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}，R(A)=2

例：求矩阵 BB 的秩，其中 B=[320503−236−12015−316−4−14]B=\begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 & 5 & 0 \\ 3 & -2 & 3 & 6 & -1 \\ 2 & 0 & 1 & 5 & -3 \\ 1 & 6 & -4 & -1 & 4 \end{bmatrix}

初等变换不改变矩阵的秩，对矩阵 BB 做初等变换，将其变换为行阶梯矩阵：

B=B=[320503−236−12015−316−4−14]∼r1↔r4[16−4−143−236−12015−332050]∼r4−3r1r3−2r1r2−3r1B = B=\begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 & 5 & 0 \\ 3 & -2 & 3 & 6 & -1 \\ 2 & 0 & 1 & 5 & -3 \\ 1 & 6 & -4 & -1 & 4 \end{bmatrix} \stackrel {r_1 \leftrightarrow r4} {\sim} \begin{bmatrix} 1 & 6 & -4 & -1 & 4 \\ 3 & -2 & 3 & 6 & -1 \\ 2 & 0 & 1 & 5 & -3 \\ 3 & 2 & 0 & 5 & 0 \end{bmatrix} \stackrel {\stackrel {\stackrel {r_2 - 3r_1} {r_3 - 2r_1}} {r_4 - 3r_1}} {\sim}

[16−4−140−431−10−1297−110−16128−12]∼r4−4r2r3−3r2[16−4−140−431−10004−80004−8]∼r4−r3\begin{bmatrix} 1 & 6 & -4 & -1 & 4 \\ 0 & -4 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & -12 & 9 & 7 & -11 \\ 0 & -16 & 12 & 8 & -12 \end{bmatrix} \stackrel {\stackrel {r_3-3r_2} {r_4-4r_2}} {\sim} \begin{bmatrix} 1 & 6 & -4 & -1 & 4 \\ 0 & -4 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & -8 \end{bmatrix} \stackrel {r_4-r_3} {\sim}

[16−4−140−431−10004−800000] \begin{bmatrix} 1 & 6 & -4 & -1 & 4 \\ 0 & -4 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

则 R(B)=3R(B)=3

变换行阶梯矩阵时，第一步通常都是把列中最上方元素化为 1，这样可以很容易通过该元素将当前列下方的元素都消为 0

例：设 A=[12−1132λ−1563μ]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & \lambda & -1 \\ 5 & 6 & 3 & \mu \end{bmatrix}，已知 R(A)=2R(A)=2，求 λ\lambda 和 μ\mu 的值.

A=[12−1132λ−1563μ]∼r3−5r1r2−3r1[12−110−4λ+3−40−48μ−5]∼r3−r2A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & \lambda & -1 \\ 5 & 6 & 3 & \mu \end{bmatrix} \stackrel {\stackrel {r_2 - 3r_1} {r_3 - 5r_1}} {\sim} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & \lambda+3 & -4 \\ 0 & -4 & 8 & \mu-5 \end{bmatrix} \stackrel {r_3-r_2} {\sim}

[12−110−4λ+3−4005−λμ−1]\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & \lambda+3 & -4 \\ 0 & 0 & 5-\lambda & \mu-1 \end{bmatrix}

已知 RA=2R_{A}=2，则 5−λ=0，μ−1=05-\lambda=0，\mu-1=0，得 λ=5，μ=1\lambda=5，\mu=1

矩阵求秩公式

  • R(KA)=R(A)(K≠0)R(KA) = R(A) \quad (K \neq 0)
  • R(A)=R(AT)R(A)=R(A^T)
  • R(Am∗n)≤min{m,n}R(A_{m*n}) \le min \{m,n\}
  • AA 可逆 →R(AB)=R(B)\rightarrow R(AB)=R(B)

    可逆矩阵乘以目标矩阵，不改变目标矩阵的秩

  • R(AB)≤min{R(A),R(B)}R(AB) \le min \{R(A),R(B)\}
  • R(A+B)≤R(A)+R(B)R(A+B) \le R(A)+R(B)
  • Am∗nBn∗s=0，则R(A)+R(B)≤nA_{m*n}B_{n*s}=0，则 R(A)+R(B) \le n
  • R(A)=R(ATA)=R(AAT)=R(AT)R(A)=R(A^TA)=R(AA^T)=R(A^T)

例：A=[1212a3245]A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & a & 3 \\ 2 & 4 & 5 \end{bmatrix}， BB 是 3∗43*4 的非零矩阵，且 AB=0AB=0，求 R(B)R(B).

已知 BB 为3∗43*4 的非零矩阵，则 1≤R(B)≤31 \le R(B) \le 3

对于矩阵 AA，易得子式 ∣1125∣≠0\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} \neq 0 ，由于 aa 的值未知，三阶子式结果未知，2≤R(A)≤32 \le R(A) \le 3

由于 AB=0AB=0 且 AA 的列数与 BB 的行数相等，则 R(A)+R(B)≤3R(A) + R(B) \le 3

即：{1≤R(B)≤32≤R(A)≤3R(A)+R(B)≤3\begin{cases} 1 \le R(B) \le 3 \\ 2 \le R(A) \le 3 \\ R(A)+R(B) \le 3 \end{cases}，易得 R(A)=2，R(B)=1R(A)=2，R(B)=1.

矩阵分块

矩阵分块的原则

可以将一个矩阵中不同部分进行分块处理，将一个矩阵分为多个块，使用处理后的矩阵进行运算

例：设 A=[10000100−12101101]，B=[1010−12011041−1−120]A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}，B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 4 & 1 \\ -1 & -1 & 2 & 0 \end{bmatrix} ，求 ABAB.

矩阵 A，BA，B 分块：

image.png

记：A=[EOA12E]，B=[B11EB12B22]A=\begin{bmatrix} E & O \\ A_{12} & E \end{bmatrix}，B=\begin{bmatrix} B_{11} & E \\ B_{12} & B_{22} \end{bmatrix}

则 AB=[EOA12E][B11EB12B22]=[B11EA12B11+B12A12+B22]AB=\begin{bmatrix} E & O \\ A_{12} & E \end{bmatrix}\begin{bmatrix} B_{11} & E \\ B_{12} & B_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B_{11} & E \\ A_{12}B_{11}+B_{12} & A_{12}+B_{22} \end{bmatrix}

而：

A12B11+B12=[−1211][10−12]+[10−1−1]=[−24−11]A_{12}B_{11}+B_{12}=\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 4 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}

A12+B22=[−1211]+[4120]=[3331]A_{12}+B_{22}=\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}

故 AB=[B11EA12B11+B12A12+B22]=[1010−1201−2433−1131]AB=\begin{bmatrix} B_{11} & E \\ A_{12}B_{11}+B_{12} & A_{12}+B_{22} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 1 \\ -2 & 4 & 3 & 3 \\ -1 & 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}

矩阵块作为矩阵元素进行相乘也遵循矩阵相乘的规则

矩阵块命名一定要规范

矩阵分块原则上可以随便划分，但在划分的时候我们一般会找一些特征性强的来进行划分，例如上面例题中划分后得到的零矩阵 OO，单位矩阵 EE 等，有目的地去分块会大大提高我们的计算效率.

利用矩阵分块求逆矩阵

矩阵块公式

  1. [A00B]n=[An00Bn]\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix} A^n & 0 \\ 0 & B^n \end{bmatrix}

  2. [A00B]−1=[A−100B−1]\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 &B^{-1} \end{bmatrix}

  3. [0AB0]−1=[0B−1A−10]\begin{bmatrix} 0 & A \\ B & 0 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & B^{-1} \\ A^{-1} & 0 \end{bmatrix}

对于只有一个数字作为元素的矩阵求逆，由 AB=EAB=E 得，该矩阵的逆矩阵中的元素为原数字的倒数，例：A=[5]，A−1=[15]A=[5]，A^{-1}=[\frac {1}{5}].

对于分块后得到的 2 阶矩阵求逆，主对调，副变号 不适用

对于对角矩阵，上方的三个公式也适用，不过其对应逆矩阵中元素都变为原来的倒数

例：设 A=[500031021]A= \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}，求 A−1A^{-1}

image.png

矩阵分块：A=[A11OOA12]A = \begin{bmatrix} A_{11} & O \\ O & A_{12} \end{bmatrix}

A−1=[A11−1OOA12−1]=[150001−10−23]A^{-1} = \begin{bmatrix} A_{11}^{-1} & O \\ O & A_{12^{-1}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac {1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3\end{bmatrix}

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