前缀后缀01背包（牛客2023多校D清楚姐姐学01背包）

0x1f 题目：

• ac.nowcoder.com/acm/contest…

0x2f 题意：

• 定义初始背包的最优解$V_{max}$
• 定义n个物品去掉任意一个后，最优解为$V_{max}'$
• 每一个物品$w[i],v[i]$，在$v[i]$上加上一个最小值，使得$V_{max}$ > $V_{max}'$
• 背包的容量是m

0x3f 思路：

• 前缀背包：$pre[ i ][ j ]$ 表示前 $i$ 个物品使用体积为 $j$ 的最大价值
• 后缀背包：$suf[ i ][ j ]$ 表示 $i$ 之后物品使用体积为 $j$ 的最大价值（转移的方法和01背包一样）
• 接下来贪心考率在什么情况下$V_{max}$ > $V_{max}'$
  • 计算$V_{max}'$：$\max _{0 \to m}^j (pre[i-1][j] + suf[i+1][m-j])$
  • 要让$V_{max}$ > $V_{max}'$成立，可以在背包里提前预留$w[i]$，计算出最大值，要让物品$i$成为必需品，至少需要加上 $V_{max}$ + 1 - $（V_{max}' + v[i]）$
  • 为什么？因为贪心结果是必须把物品 $i$ 放入背包的，只有这一个物品，容易贪心留$w[i]$的空间是最优的
  • 计算预留$w[i]$空间：$\max _{0 \to m - w[i]}^j (pre[i-1][j] + suf[i+1][m-j-w[i]])$

0x4f 代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define debug1(a) cout<<#a<<'='<< a << endl;
#define debug2(a,b) cout<<#a<<" = "<<a<<"  "<<#b<<" = "<<b<<endl;
#define debug3(a,b,c) cout<<#a<<" = "<<a<<"  "<<#b<<" = "<<b<<"  "<<#c<<" = "<<c<<endl;
#define debug4(a,b,c,d) cout<<#a<<" = "<<a<<"  "<<#b<<" = "<<b<<"  "<<#c<<" = "<<c<<"  "<<#d<<" = "<<d<<endl;
#define debug5(a,b,c,d,e) cout<<#a<<" = "<<a<<"  "<<#b<<" = "<<b<<"  "<<#c<<" = "<<c<<"  "<<#d<<" = "<<d<<"  "<<#e<<" = "<<e<<endl;
#define endl "\n"
#define fi first
#define se second
#define caseT int T;cin >> T;while(T--)

#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<LL,LL> PLL;

//#pragma GCC optimize(3,"Ofast","inline")
//#pragma GCC optimize(2)

inline int rd()
{
	int f=1,x=0;char c=getchar();
	while(c<'0'||'9'<c){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while('0'<=c&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
	return f*x;
}

//常数定义
const double eps = 1e-6;
const double PI = acos(-1.0);
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 5010;

void solve(){
    int n, m; cin >> n >> m;
    vector<int>w(n), v(n);
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> w[i] >> v[i];
    }
    vector<vector<LL>> pre(n, vector<LL>(m + 1));
    vector<vector<LL>> suf(n, vector<LL>(m + 1));
    for(int  i = 0; i < n; ++i) {
        if(i) pre[i] = pre[i - 1];
        for(int j = m; j >= w[i]; --j) {
            pre[i][j] = max(pre[i][j], pre[i][j - w[i]] + v[i]);
        }
    }
    for(int i = n - 1; i >= 0; --i) {
        if(i < n - 1) suf[i] = suf[i + 1];
        for(int j = m; j >= w[i]; --j) {
            suf[i][j] = max(suf[i][j], suf[i][j - w[i]] + v[i]);
        }
    }
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        LL max1 = 0, max2 = 0;
        for(int j = 0; j <= m; ++j) {
            max1 = max(max1, (i ? pre[i - 1][j] : 0) + (i + 1 < n ? suf[i + 1][m - j] : 0));
        }
        for(int j = 0; j <= m - w[i]; ++j) {
            max2 = max(max2, (i ? pre[i - 1][j] : 0) + (i + 1 < n ? suf[i + 1][m - j - w[i]] : 0));
        }
        cout << max(0LL, max1 + 1 - v[i] - max2) << "\n";
    }
}

signed main()
{
    
    /*
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    */

    //caseT
        solve();

    return 0;

}
/*

*/