文章内容

矩阵基本概念
矩阵的加减乘
矩阵的分类
矩阵的转置
对角矩阵特性
矩阵对应的行列式
伴随矩阵
逆矩阵
逆矩阵和伴随矩阵之间的关系
矩阵常用变换公式总结

矩阵基本概念

矩阵是由m*n个数排成的m行n列的表格，什么形状都可以有(m和n可以为任意正整数)

对比行列式，行列式是一个数，不是表格，并且只能是方形的(m=n)

矩阵的表示： $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix}$

如果表示行列式，则不能写A=，而要写|A|=，因为||中间表示的是一个数，这个数为A

矩阵的加/减/乘

矩阵相加/减

注意：同型的矩阵才能相加

同型：矩阵的行和列都相同，也就是形状相同

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ \end{bmatrix}$

$A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & a_{23} + b_{23} \\ \end{bmatrix}$

$A - B = \begin{bmatrix} a_{11} - b_{11} & a_{12} - b_{12} & a_{13} - b_{13} \\ a_{21} - b_{21} & a_{22} - b_{22} & a_{23} - b_{23} \\ \end{bmatrix}$

如上所示，在矩阵中对应位置的元素相加/减即可

矩阵加/减满足结合律和交换律：

$A + B = B + A$
$(A + B) + C = A + (B + C)$

矩阵相乘

一个数乘矩阵

$K\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Ka_{11} & Ka_{12} & Ka_{13} \\ Ka_{21} & Ka_{22} & Ka_{23} \\ \end{bmatrix}$

ps：对于行列式的话， $K^2\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Ka_{11} & Ka_{12} & Ka_{13} \\ Ka_{21} & Ka_{22} & Ka_{23} \\ \end{bmatrix}$

矩阵乘以矩阵

例如矩阵A乘以矩阵B，需要满足A的列等于B的行才能相乘

$A_{2*2} * B_{2*3} = C_{2*3}$

乘积得到的结果矩阵 C 的行数和列数分别等于矩阵 A 的行数和矩阵 B 的列数

条件：A的列等于B的行

结果：C的大小为A的行*B的列

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ \end{bmatrix}$

矩阵A和矩阵B的形状分别为22和23, 矩阵A的列数和矩阵B的行数相同，故可以相乘

$A*B = \begin{bmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} & a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} & a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23} \\ \end{bmatrix}$

矩阵A的第1行*矩阵B的第列 -> $c_{11}$
矩阵A的第1行*矩阵B的第2列 -> $c_{12}$
$\cdots$
矩阵A的第2行*矩阵B的第3列 -> $c_{23}$

例：求矩阵 $A=\begin{bmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -2 \\ \end{bmatrix}$ 与 $B=\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ -3 & -6 \\ \end{bmatrix}$ 的乘积 AB 及 BA

$AB=\begin{bmatrix}(-2)*2+4*(-3) & (-2)*4+4*(-6) \\ 1*2+(-2)*(-3) & 1*4+(-2)*(-6)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -16 & -32 \\ 8 & 16 \end{bmatrix}$
$BA=\begin{bmatrix}2*(-2)+4*1 & 2*4+4*(-2) \\ (-3)*(-2)+(-6)*1 & (-3)*4+(-6)*(-2)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

由此也可以看出， $AB \neq BA \quad$ (矩阵乘法不满足交换律)

对于矩阵A和矩阵B相乘：

$AB \neq BA$
$(AB = 0) \neq> (A=0\quad or \quad B=0)$
$(AB = AC\quad and \quad A\neq0) \neq> (B = C)$

这里的0表示零矩阵(所有元素都为0)

矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律 $(AB)C = A(BC)$

补充：矩阵的转置 $A^T$ 表示矩阵A的转置，也就是矩阵A行列互换

如： $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\end{bmatrix}$ ，shape: 1*3

则： $A^T=\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ \end{bmatrix}$ ，shape: 3*1

已知A = $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ ，B = $\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ ，则：

$A^TB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \end{bmatrix}$ ， $A^T$ 形状为1*3， $B$ 形状为3*1， $A^T$ 的列等于 $B$ 的行，可以相乘，且结果矩阵形状为1*1
$AB^T = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 6 & 4 & 2 \\ 9 & 6 & 3 \end{bmatrix}$ ， $A$ 形状为3*1， $B^T$ 形状为1*3， $A$ 的列等于 $B^T$ 的行，可以相乘，且结果矩阵形状为3*3

可以观察到，一行乘以一列，得到的是一个数，而一列乘以一行，得到的是一个矩阵，此外，前者得到的数恰好是后者矩阵中主对角线上数的和

矩阵的分类

对于数量/单位/对角阵，写的时候一般只写对角元素1，其它位置的元素0不写

①零矩阵：每个元素都是0的矩阵，记作 $O$

如： $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} => 0$

②行向量/行矩阵：只有一行的矩阵

如: $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}$

③列向量/列矩阵：只有一列的矩阵

如： $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

④数量矩阵：主对角线元素均为K，其余元素均为0的n阶方阵

如： $\begin{bmatrix}5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5 & & \\ & 5 & \\ & & 5 \end{bmatrix}$

⑤单位矩阵：主对角线元素均为1，其余元素均为0的n阶方阵，一般用符号 $E$ 表示

如： $E = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & & \\ & 1 & \\ & & 1 \end{bmatrix}$
- 设 $A$ 为一个矩阵，则有 $EA = AE = A$

⑥对角矩阵：主对角以外的元素均为0，一般用符号 $\Lambda$ 表示

如： $\Lambda = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & & \\ & 2 & \\ & & 3 \end{bmatrix}$

⑦上(下)三角矩阵：主对角以下(上)的元素均为0

如 (上三角阵)： $\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

矩阵的转置

定义：把矩阵 $A$ 的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做 $A$ 的转置矩阵，记作 $A^T$

如： $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix}\qquad A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

定义：若 $n$ 阶方阵 $A$ 中的元素满足： $a_{ij} = a_{ji}(i,j=1,2 \cdots n)$ ，则称 $A$ 为 $n$ 阶对称矩阵，若 $n$ 阶方阵 $B$ 中的元素满足 $b_{ij} = -b{ji}(i,j=1,2 \cdots n)$ ，则称 $B$ 为 $n$ 阶反对称矩阵

$n$ 阶对称矩阵： $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{bmatrix}$
$n$ 阶反对称矩阵： $\begin{bmatrix} 0 & a_{12} & a_{13} \\ -a_{12} & 0 & a_{23} \\ -a_{13} & -a_{23} & 0 \end{bmatrix}$

矩阵转置公式

$(A^T)^T$ = $A$
$(KA)^T = KA^T$
$(AB)^T = B^TA^T$
$(A+B)T = A^T+B^T$

$A,B$ 为矩阵， $K$ 为一个数

例：设列矩阵 $X = (x_1,x_2x\cdots,x_n)^T$ 满足 $X^TX=1$ ， $E$ 为n阶单位矩阵， $H = E-2XX^T$ ，证明 $H$ 是对称矩阵，且 $HH^T = E$ .

证明 $H$ 是对称矩阵：
- $H^T=(E-2XX^T)^T=E^T+(-2XX^T)^T=E^T-2XX^T=E-2XX^T=H$
$E$ 为单位矩阵，单位矩阵也属于对称矩阵，满足 $E=E^T$ ，要证明 $H$ 是对称矩阵，证明 $H = H^T$ 即可
证明 $HH^T = E$ ：
- $HH^T=H^2=(E-2XX^T)^2=E^2-2EXX^T-2EXX^T+4XX^TXX^T=E-4XX^T+4X(X^TX)X^T=E-4XX^T+4XX^T=E$
如果 $HH^T = E(单位矩阵)$ 的话，那么 $H$ 是一个正交矩阵，之后会讲到

对角矩阵的特性

对角矩阵：主对角线以外的元素都为0的矩阵

对于两个 $n$ 阶方阵 $A、B$ ，若 $AB=BA$ ，则称方阵 $A$ 和方阵 $B$ 是可交换的

两个对角矩阵是可交换的

如：设 $A=\begin{bmatrix}a_1 & & \\ & a_2 & \\ & & a_3 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} b_1 & & \\ & b_2 & \\ & & b_3 \end{bmatrix}$ ，计算 $AB$ 和 $BA$

$AB = \begin{bmatrix}a_1b_1 & & \\ & a_2b_2 & \\ & & a_3b_3 \end{bmatrix}$
$BA = \begin{bmatrix}a_1b_1 & & \\ & a_2b_2 & \\ a_3b_3 \end{bmatrix}$

可以看到 $AB=BA$

① $A,B$ 为同型 $n$ 阶方阵，② $A,B$ 为对角矩阵 -> $AB=BA$ -> 可交换矩阵 $A,B$

反之无法推出，因为也可能存在其它情况满足 $AB=BA$

n 阶矩阵对应的行列式

$n$ 阶矩阵 $A$ 的元素构成的行列式称为方阵 $A$ 的行列式，记作 $|A|$

$|A^T| = |A|$
- 行列式：行列互换，其值不变
$|KA| = K^n|A|$
$|AB| = |A||B|$
$|A+B| \neq |A|+|B|$
- $A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}$ ，则 $A+B=\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{bmatrix}$
- $|A+B|=\begin{vmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}b_{11} & b_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{vmatrix}$

伴随矩阵

用 $|A|$ 的代数余子式按如下形式拼成的矩阵，称为矩阵 $A$ 的伴随矩阵，记作 $A^*$ ，并且有：

$AA^*=A^*A=|A|E$

矩阵 $A$ 是方阵，因为行列式只能是方形

A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix} |A|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} A^* = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix}

伴随矩阵公式

$AA^*=A^*A=|A|E$
$(A^*)^*=|A|^{n-2}A \quad (n \geq 2)$
$(KA)^*=K^{n-1}A^*$
$(AB)^*=B^*A^*$
$|A^*|=|A|^{N-1}$

$(A+B)^* \neq A^*+B^*$

伴随矩阵的性质

证明： $AA^*=A^*A=|A|E$

$AA^*=\begin{bmatrix} a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\cdots+a_{1n}A_{1n} & a_{11}A_{21}+a_{12}A_{22}+\cdots+a_{1n}A_{2n} & \cdots \\ a_{21}A_{11}+a_{22}A_{12}+\cdots+a_{2n}A_{1n} & a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+\cdots+a_{2n}A_{2n} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \cdots \\ a_{n1}A_{11}+a_{n2}A_{12}+\cdots+a_{nn}A_{1n} & a_{n1}A_{21}+a_{n2}A_{22}+\cdots+a_{nn}A_{2n} & \cdots \end{bmatrix}$

回顾行列式的知识：

行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的积之和
行列式中的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和为0

因此上方的矩阵可以化简为： $AA^*=\begin{bmatrix}|A| & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & |A| & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & |A|\end{bmatrix}$

提出公因子|A|： $AA^*=|A|\begin{bmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{bmatrix} = |A|E$

因此可证： $AA^*=A^*A=|A|E$

二阶伴随矩阵的特点

对于伴随矩阵 $A$ ，设 $A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ ，则伴随矩阵 $A^*=\begin{bmatrix}d &-b \\ -c & a\end{bmatrix}$

推导也比较好推： $A^*=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22} \end{bmatrix}$

$A_{11} = (-1)^{1+1}d = d$
$A_{21} = (-1)^{2+1}b = -b$
$A_{12} = (-1)^{1+2}c = -c$
$A_{22} = (-1)^{2+2}a = a$

主对调，副变号

主对调：主对角线上的两个元素位置互换
副变号：副对角线上的两个元素符号发生改变

逆矩阵

定义/推论/定理

定义：

前提： $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶方阵， $E$ 是 $n$ 阶单位阵
条件： $AB=BA=E$
结论：称矩阵 $A$ 可逆，且 $B$ 是 $A$ 的可逆矩阵，记作 $A^{-1}=B$

推论：

前提： $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶方阵， $E$ 是 $n$ 阶单位阵
条件： $AB=E\quad(or \quad BA=E)$
结论：称矩阵 $A$ 可逆，且 $B$ 是 $A$ 的可逆矩阵，记作 $A^{-1}=B$

相比定义，推论更常用，因为推论的条件更简单

不要一看见 $AB=E$ 就判定 $B$ 为 $A$ 的逆矩阵，要注意前提条件限定

重要定理：

若 $A$ 可逆，则 $A$ 的逆矩阵是唯一的
$A$ 可逆 $<=>|A| \neq 0$

第二条可相互推导，矩阵 $A$ 可逆，可以推出对应的行列式 $|A| \neq 0$ ，反之可以推出矩阵 $A$ 可逆.

抽象矩阵求逆

抽象矩阵：没有说明形状和元素，仅说明一个符号的矩阵就是抽象矩阵

对于抽象矩阵求逆，我们一般都是直接套定义来求的

例：设方阵 $A$ 满足 $A^2-A-2E=0$ ，证明 $A$ 及 $A+2E$ 都可逆，并求 $A^{-1}$ 及 $(A+2E)^{-1}$

① 证明 A 及 A+2E 都可逆：

\begin{align} A^2-A-2E &= 0 \notag \\ A^2 -A &= 2E \notag \\ |A^2 - A| &= |2E| \notag \\ |A||A-E| &= 2|E| \notag \\ |A||A-E| &= 2 \notag \\ \end{align} \\ 故：|A| \neq 0，又因为|A|不为0且A为方阵，所以矩阵A可逆 \\ \begin{align} \notag \\ A^2-A-2E &= 0 \notag \\ A+2E &= A^2 \notag \\ |A+2E| &= 2|A| \notag \\ \end{align}\\ 因为A和E都为方阵，所以A+2E为方阵，又因为|A| \neq 0，所以A+2E可逆

② 求 $A^{-1}$ 及 $(A+2E)^{-1}$

\begin{align} A^2-A-2E &= 0 \notag \\ A^2-A &= 2E \notag \\ A(A-E) &= 2E \notag \\ A(\frac{A-E}{2}) &= E \notag \\ \end{align} \notag \\ 故：A^{-1} = \frac {A-E}{2} \notag \\ \begin{align} \notag \\ A^2-A-2E &= 0 \notag \\ (A+2E)(A-3E) + 4E^2 &= 0 \notag \\ (A+2E)(\frac{3E-A}{4}) &= E \notag \\ \end{align} \notag \\ 故(A+2E)^{-1} = \frac{3E-A}{4}

单位矩阵对应的行列式值为1；此外，与一般运算不同，在矩阵运算中 $(A^2-A) = A(A-E)$ ，提出后得到的不是1，是单位矩阵E.

求逆矩阵，按照定义进行凑数就可以了

逆矩阵公式

$(A^{-1})^{-1}=A$
$(KA)^{-1}=K^{-1}A^{-1}\quad(K \neq 0)$
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
$|A^{-1}|=|A|^{-1}$

逆矩阵和伴随矩阵之间的关系

回顾伴随矩阵： $AA^*=|A|E$

逆矩阵和伴随矩阵之间的关系推导：

\begin{align} AA^* &= |A|E \notag \\ AA^{-1}A^* &= |A|EA^{-1} \notag \\ EA^* &= |A|EA^{-1} \notag \\ A^* &= |A|A^{-1} \notag \\ A^{-1} &= \frac {A^*}{|A|} \notag \\ \end{align}

$(A+B)^{-1} \neq A^{-1}+B^{-1}$

例：设 $A=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}$ ，求逆矩阵 $A^{-1}$

$A^{-1}=\frac {A^*}{|A|}=\frac {\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}}{ad-bc} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

矩阵的公式的总结及补充说明

矩阵，行列式：

$|A^T|=|A|$
$|KA|=K^n|A|$
$|AB|=|A||B|$

$|A+B| \neq |A| + |B|$

矩阵转置公式：

$(A^T)^T$ = $A$
$(KA)^T = KA^T$
$(AB)^T = B^TA^T$
$(A+B)T = A^T+B^T$

伴随矩阵公式：

$AA^*=A^*A=|A|E$
$(A^*)^*=|A|^{n-2}A \quad (n \geq 2)$
$(KA)^*=K^{n-1}A^*$
$(AB)^*=B^*A^*$
$|A^*|=|A|^{n-1}$

$(A+B)^* \neq A^*+B^*$

逆矩阵公式：

$(A^{-1})^{-1}=A$
$(KA)^{-1}=K^{-1}A^{-1}\quad(K \neq 0)$
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
$|A^{-1}|=|A|^{-1}$

补充：

$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$
$(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*$
$(A^T)^*=(A^*)^T$

这三个互相之间没影响

前面我们推导了 $A^{-1}$ ，其它的一些公式也是由公式 $AA^*=A^*A=|A|E$ 来推导的

① 公式推导： $(A^*)^{-1}=\frac{A}{|A|}$

\begin{align} AA^*&=|A|E \notag \\ A^*\frac{A}{|A|}&=E \notag \\ (A^*)^{-1}&=\frac{A}{|A|} \notag \\ \end{align}

同理： $A^{-1}=\frac {A^*}{|A|}$

② 公式推导： $(A^*)^*=|A|^{n-2}A \quad (n \geq 2)$

\begin{align} A^*&=|A|A^{-1} \notag \\ (A^*)^*&=|A^*|(A^*)^{-1} \quad (令A=A^*) \notag \\ (A^*)^*&=|A|^{n-1} \frac {A} {|A|} \quad ((A^*)^{-1}=\frac {A} {|A|}) \notag \\ (A^*)^*&= |A|^{n-2}A \notag \end{align}

③ 公式推导： $(KA)^*=K^{n-1}A^*$

\begin{align} A^*&=|A|A^{-1} \notag \\ (KA)^*&=|KA|(KA)^{-1} \quad (令A=KA) \notag \\ (KA)^*&=K^n|A|K^{-1}A^{-1} \quad ((KA)^{-1} =K^{-1}A^{-1},K \neq 0) \notag \\ (KA)^*&=K^{n-1}|A|A^{-1} \quad (A^{-1}=\frac {A^*}{|A|}) \notag \\ (KA)^*&=K^{n-1}A^* \notag \\ \end{align}

【线性代数】矩阵基础 (1)