线性代数的python实现-线性相关

假设 $S$ 是一个集合，其中定义了加法和标量乘法，那么 $S$ 的线性组合定义为

其中 $\alpha_i$ 是任意实数，$s_i$ 是 $S$ 中的第 $i$ 个对象。有时 $\alpha_i$ 的值被称为 $s_i$ 的系数。线性组合可以用来描述许多事物。例如，一张杂货单可以写成 $\displaystyle{\sum c_i n_i}$，其中 $c_i$ 是第 $i$ 项的成本，$n_i$ 是购买的第 $i$ 项的数量。因此，总成本是购买的物品的线性组合。

如果集合中的任何一个对象都不能写成集合中其他对象的线性组合，那么这个集合就被称为线性无关的。为了本书的目的，我们只考虑一组向量的线性无关性。不是线性无关的一组向量是线性相关的。

**试一试！**给定行向量 $v = [0, 3, 2]$，$w = [4, 1, 1]$ 和 $u = [0, -2, 0]$，用 $v$，$w$ 和 $u$ 的线性组合写出向量 $x = [-8, -1, 4]$。

书中给出了手动计算的求解：

v = np.array([[0, 3, 2]])
w = np.array([[4, 1, 1]])
u = np.array([[0, -2, 0]])
x = 3*v-2*w+4*u
print(x)

我给出的使用Numpy的求解：

import numpy as np

# 定义行向量
v = np.array([0, 3, 2])
w = np.array([4, 1, 1])
u = np.array([0, -2, 0])

# 转换为列向量并水平叠加
A = np.hstack((v[:, None], w[:, None], u[:, None]))

# 定义目标向量
b = np.array([-8, -1, 4])

# 求解系数
x = np.linalg.solve(A, b)

# 打印结果
print(x)