筛质数

准备从头开始进行算法中数学知识的学习。

题目描述

给定一个正整数 $n$，请你求出 $1∼n$ 中质数的个数。

输入格式

共一行，包含整数 $n$。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示 $1∼n$ 中质数的个数。

数据范围

$1≤n≤10^6$

输入样例：

8

输出样例：

4

题目分析

这是一道数论的经典题目，主要知识点是关于质数的应用。

根据题目所给的数据范围的大小，我们将进行不同算法的选择。

O(n*sqrt(n))

这个方法就是最基础的枚举法，对于从 $1\sim n$ 中的所有数，我们统一用一个方法进行质数的判断。即对于一个数 $x$，我们从 $2$ 开始枚举到 $\lfloor\sqrt{x}\rfloor$，若这个范围区间的数存在被 $x$ 整除的数，则证明 $x$ 不是质数，反之则为质数。

O(nloglogn)

接下来介绍埃氏筛法。

首先我们知道一个数 $x$ 只能被小于 $x$ 的数整除，而且在所有能整除 $x$ 的数中，最小的那个是一个质数，其余的数同样被那个最小的质数整除。在此前提下给定求解的范围 $1\sim n$，我们从 $2$ 开始枚举到 $n$，每次枚举当前数的倍数并递增枚举，并对除第一次枚举的数做标记，意为其可以被第一个数整除，即不是质数；在进行下一次枚举时对不是质数的数直接跳过即可。

欧拉筛法（线性筛）

线性筛法是埃氏筛法的一个优化，其是针对埃氏筛法会多次筛去合数的一个改变。

其核心思想为 $n$ 一定会且只会被其最小质因子筛掉，具体表现在有两个方面：

1. 一个数一定会被其最小质因子筛去。对于数 $x$，设其最小质因子为 $px$，在枚举到 $x$ 之前一定会枚举到 $x / px$，即其一定会被筛去。
2. 一个数只会被其最小质因子筛去。若当前枚举到 $i$，质数枚举到 $p[x]$，若 $i \% p[x] == 0$，意味着 $p[x]$ 是 $i$ 的最小质因子，则直接跳出。

Accept代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int n, cnt;
int primes[N];
bool st[N];

int main()
{
    cin >> n;

    for (int i = 2; i <= n; i ++)
    {
        if (!st[i]) primes[cnt ++] = i;
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++)
        {
            st[i * primes[j]] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }

    cout << cnt;
    return 0;
}