【线性代数】行列式

ZacharY
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文章内容

  • 行列式的基本概念和计算
  • 行列式中的元素分布和逆序数
  • 余子式和代数余子式
  • 行列式恒等变形
  • 特殊行列式

二/三阶行列式

二阶行列式

二阶行列式的概念非常简单，如： ∣a11a12a21a22∣\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix}

这就是一个二阶行列式其中 aija_{ij} 表示第 i 行第 j 列元素。

行列式的展开：判断主对角和副对角。在二阶行列式中，主对角线就是 左上 -> 右下 这条线，同理，副对角线就是 右上 -> 左下 这条线，行列式展开结果为 主对角 - 副对角，对于以上案例，也就是 a11a22−a12a21a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}

如 ∣1234∣\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{vmatrix} 展开后为：1∗4−2∗3=−21 * 4 - 2 * 3 = -2

三阶行列式

不难看出，二阶行列式由于对角线中元素有两个，因此展开后每个选项由两个元素构成，同理，三阶行列式中每个选项由三个元素构成 三阶行列式同理：

∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}

三阶行列式的展开也要找主对角线和副对角线，对于三阶行列式的主对角线：

image.png

如图所示，共有三条主对角线，后两条元素不够，则拿前面的元素来补，因此主对角线组成的选项为：a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}

同理，对于副对角线：

image.png

副对角线组成的选项为：a13a22a31+a12a21a33+a11a23a32a_{13}a_{22}a_{31} + a_{12}a_{21}a_{33} + a_{11}a_{23}a_{32}

因此三阶行列式展开后的结果为： a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}

如 ∣123456789∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix} 展开后为：1∗5∗9+2∗6∗7+3∗4∗8−3∗5∗7−2∗4∗9−1∗6∗8=225−255=01*5*9 + 2*6*7 + 3*4*8 - 3*5*7 - 2*4*9 - 1*6*8 = 225 - 255 = 0

注: 需要注意的是, 以上法则仅适用于四阶以下行列式, 对于四阶或四阶以上行列式并不适用, 对于行列式计算的通用方法则需要基于代数余子式来计算。

需要提及的是，行列式都是正方形的，也就是m=n，这里不做过多解释

行列式中的元素分布

一个 nn 阶行列式的展开共有 n!n! 项，例如2阶行列式展开有2项，而3阶行列式展开有6项

一个重要结论：行列式展开后每项中的每个元素都来自不同的行和列

例如对于一个四阶行列式中，已知某项中的三个元素：a13a21a32a_{13}a_{21}a_{32}, 则该项剩下的那个元素是什么？

  • 每个元素都来自不同的行和列，因此为 a44a_{44}

行列式中的逆序数

当行下标顺排时，每一项的正负号由列下表的逆序数决定

某项的正负号：(−1)x(-1)^x

  • xx：该项的逆序数，其实就是x为奇数则为负号，反之x为偶数则为正号

例如对于三阶行列式的某一项：a11a23a32a_{11}a_{23}a_{32}，先看这项的行下标，行下标为元素中的行序号，分别为 123 , 按顺序排列(顺排)，则该项前面的符号是由列下标(132)来决定

逆序数：对于一个序列中的每个元素，每个元素右边比它小的数的个数的和为该序列的逆序数

  • 123451 2 3 4 5：每个元素后面的数都比该元素大，对应序列为 000000 0 0 0 0 没有逆序数，为0
  • 134251 3 4 2 5：1后面的数都比它大，为0，3和4后面都只有1个数比本身小，2和5后面都没有数比它们小，因此对应序列为 011000 1 1 0 0 ，该序列逆序数为 0+1+1+0+0=20 + 1 + 1 + 0 + 0 = 2

继续上面的例子，对于列下表 132132 ，易得逆序数为 1，因此符号为负号

余子式和代数余子式

对于行列式的计算(展开)其实是非常麻烦的，因为除了三阶行列式，对于更高阶的行列式使用前面介绍的那种方法计算起来相当麻烦，我们在计算的时候可以利用余子式和代数余子式。

余子式/代数余子式

余子式：MijM_{ij}

代数余子式：Aij=(−1)i+jMijA_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}

对于一个行列式，行列式中的每个元素都有与之相对应的余子式和代数余子式，例如一个三阶行列式有：

∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣\qquad\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} \qquad ∣M11M12M13M21M22M23M31M32M33∣\begin{vmatrix} M_{11} & M_{12} & M_{13} \\ M_{21} & M_{22} & M_{23} \\ M_{31} & M_{32} & M_{33} \\ \end{vmatrix} \qquad ∣A11A12A13A21A22A23A31A32A33∣\begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \\ \end{vmatrix}

余子式：对于元素 aija_{ij}，在原行列式中将第 i 行和第 j 列去掉，剩下的元素组成的新的行列式就是该元素的余子式 MijM_{ij}

代数余子式：通过公式可直接根据 MijM_{ij} 和 i、j 的值求得

例如对于行列式 ∣D∣=∣100−221−34−2∣|D| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \\ -3 & 4 & -2 \\ \end{vmatrix}，元素1对应的余子式为 ∣214−2∣\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & -2 \\ \end{vmatrix}，展开计算后得到为 −8-8，其代数余子式为 (−1)1+1∗−8=−8(-1)^{1+1} * -8 = -8，其他项同理，该行列式的余子式和代数余子式行列式如下所示

原行列式： ∣100−221−34−2∣\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \\ -3 & 4 & -2 \\ \end{vmatrix} 余子式： ∣−87−20−24012∣\begin{vmatrix} -8 & 7 & -2 \\ 0 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \\ \end{vmatrix} 代数余子式： ∣−8−7−20−2−40−12∣\begin{vmatrix} -8 & -7 & -2 \\ 0 & -2 & -4 \\ 0 & -1 & 2 \\ \end{vmatrix}

利用代数余子式计算行列式

定义：行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的积之和，即：

  • D=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAinD = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}
  • D=a1jA1j+a2jA2j+⋯+amjAmjD = a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{mj}A_{mj}

推论：行列式中的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和为0，即：

  • ai1Aj1+ai2Aj2+⋯+ainAjn=0a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{in}A_{jn} = 0
  • a1iA1j+a2iA2j+⋯+amiAmj=0a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \cdots + a_{mi}A_{mj} = 0

例如对于三阶行列式：

D=a11∗A11+a12A12+a13A13=a21∗A21+a22A22+a23A23=a31∗A31+a32A32+a33A33 \begin{aligned} D &= a_{11}*A_{11} + a_{12}A_{12} +a_{13}A_{13}\\ &= a_{21}*A_{21} + a_{22}A_{22} +a_{23}A_{23}\\ &= a_{31}*A_{31} + a_{32}A_{32} +a_{33}A_{33}\\ \end{aligned}

例：对于行列式 ∣D∣=∣100−221−34−2∣|D| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \\ -3 & 4 & -2 \\ \end{vmatrix} ， 由于该矩阵有两项为0，因此展开相当简单：1∗2∗(−2)−1∗1∗4=−81*2*(-2) - 1*1*4 = -8

对于以上案例，有：

D=1∗(−8)+0∗(−7)+0∗(−2)=(−2)∗0+2∗(−2)+1∗(−4)=(−3)∗0+4∗(−1)+(−2)∗(2)=−8 \begin{aligned} D &= 1 *(-8) + 0*(-7) +0*(-2)\\ &= (-2)*0 + 2*(-2) + 1*(-4)\\ &= (-3)*0 + 4*(-1)+(-2)*(2)\\ &= -8 \end{aligned}

行列式恒等变形

通过我们上面通过代数余子式计算行列式的过程可以看出，当行列式中存在0的元素时，会更加好算

行列式恒等变形的原则：使得行列式尽可能出现多的元素0

  • 恒等变形：无论行列式如何变形，值不变

性质1：某 行(列) 元素的K倍加到另一 行(列) 对应的元素上，行列式的值不变

例： 对于行列式∣D∣=∣12−4−221−34−2∣|D| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -4 \\ -2 & 2 & 1 \\ -3 & 4 & -2 \\ \end{vmatrix}，可进行如下变形：

  1. 将第二列元素乘以1加到第一列元素上： ∣D∣=∣32−402114−2∣|D| = \begin{vmatrix} 3 & 2 & -4 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \\ \end{vmatrix}
  2. 将第二列元素乘2加到第三列元素上： ∣D∣=∣320025146∣|D| = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 6 \\ \end{vmatrix}
  3. 将第二行元素乘-2加到第三行元素上： ∣D∣=∣32002510−4∣|D| = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 5 \\ 1 & 0 & -4 \\ \end{vmatrix}

此时将该行列式直接展开得到结果：3∗2∗(−4)+2∗5∗1+0−0−0−0=143*2*(-4)+2*5*1+0-0-0-0=14，利用代数余子式计算可得到结果：(−1)2∗3∗(−8)+(−1)3∗2∗(−5)+0=−14(-1)^2*3*(-8)+(-1)^3*2*(-5)+0=-14，与原行列式的值一样

性质2：行列互换，其值不变

如： ∣1234∣=∣1324∣=−2\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{vmatrix} = -2

性质3：任意两 行(列) 互换，行列式的值变号

  • 若两行(列)相同，行列式的值为0

两行(列)相同时，易得互换后行列式不变，由于性质3，设原来的值为A，则互换后的值为-A，由于A = -A的情况只有当A为0时成立，因此若两行(列)相同，行列式的值为0

例1： ∣1234∣=−2∣3412∣=2\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{vmatrix} = -2 \qquad \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \\ \end{vmatrix} = 2

例2： ∣1233454−21∣=−18∣4−21345123∣=18∣3451234−21∣=18\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5\\ 4 & -2 & 1 \\ \end{vmatrix} = -18 \qquad \begin{vmatrix} 4 & -2 & 1 \\ 3 & 4 & 5\\ 1 & 2 & 3 \\ \end{vmatrix} = 18 \qquad \begin{vmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3\\ 4 & -2 & 1 \\ \end{vmatrix} = 18 \qquad

性质4：某 行(列) 有公因子K，则可把K提到公因子的外面

  • 某 行(列) 全为0，行列式的值为0
  • 某 两行(列) 元素对应成比例，行列式的值为0

如： ∣333111234∣=3∣111111234∣\begin{vmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ \end{vmatrix} = 3\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ \end{vmatrix}

  • 第一行有公因子3，将3提到行列式的外面

对于第二条，比较好理解，当一行或一列为0时，展开后每一项的结果都为0，当然也可以理解为0位该 行(列) 的公因子，将0提取出来，结果为0

对于第三条，若对应存在两 行(列) 对应成比例，则提出公因子后两行相同，则由性质3中的推导得出，该行列式值为0

性质5: 某 行(列) 是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和

如： ∣a11+b1a12+b2a12+b3a21a22a23a31a32a33∣=∣a11a12a12a21a22a23a31a32a33∣+∣b1b2b3a21a22a23a31a32a33∣\begin{vmatrix} a_{11}+b_1 & a_{12}+b_2 & a_{12}+b_3 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}

特殊行列式

上(下)三角型行列式

三角形斜边为行列式中的主对角线

上三角形行列式： ∣a11a12⋯a1n0a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮00⋯amn∣\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & a_{mn} \\ \end{vmatrix}

下三角形行列式： ∣a110⋯0a21a22⋯0⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn∣\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{vmatrix}

  • 上三角形行列式 = 下三角形行列式 = 主对角线上所有元素的乘积 (a11a22⋯amna_{11}a_{22} \cdots a_{mn})

三角形斜边为行列式中的副对角线

副对角线行列式： ∣a11a12⋯a1na21a22⋯0⋮⋮⋱⋮am10⋯0∣\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & 0 & \cdots & 0 \\ \end{vmatrix}

副对角线行列式： ∣a110⋯0a21a22⋯0⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn∣\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{vmatrix}

  • 上三角形行列式 = 下三角形行列式 = (−1)m(n−1)2a11a22⋯amn(-1)^{\frac {m(n-1)}{2}}a_{11}a_{22} \cdots a_{mn}

主对角线的行列式叫上(下)三角形行列式，而副对角线的行列式就叫副对角线行列式

对角行列式

对角行列式除了对角线上的元素其它都为0

主对角线： ∣a1a2⋱an∣\begin{vmatrix} a_{1} & & & \\ & a_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{n} \\ \end{vmatrix}

  • 值为 a1a2⋯ana_{1}a_{2} \cdots a_{n}

副对角线： ∣a1a2…an∣\begin{vmatrix} & & & a_{1} \\ & & a_{2} & \\ & \dots & & \\ a_{n} & & & \\ \end{vmatrix}

  • 同理，值为 (−1)n(n−1)2a1a2⋯an(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}a_{1}a_{2} \cdots a_{n}

这几个特殊行列式的计算相对一般行列式来说非常方便，因此可以听过将一般行列式经过恒等变形转变为这种特殊行列式来进行计算，此外，也可以变形得到尽可能多的0再利用展开公式即可

拉普拉斯和范德蒙德行列式

这两个行列式有固定的展开模式

拉普拉斯展开式

如果 AA 和 BB 分别为 mm 阶和 nn 阶 方阵，则：

∣A0xB∣=∣Ax0B∣=∣A∣∣B∣\begin{vmatrix} A & 0 \\ x & B \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & x \\ 0 & B \\ \end{vmatrix} = |A||B|

∣0ABx∣=∣xAB0∣=(−1)mn∣A∣∣B∣\begin{vmatrix} 0 & A \\ B & x \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & A \\ B & 0 \\ \end{vmatrix} = (-1)^{mn}|A||B|

也就是说，当行列式中一个角落的元素都为0时，行列式的值与该角落的对角元素无关，若为主对角，则结果为主对角的两个角落元素直接相乘，副对角则需判断一下正负号

例： ∣12003400a31a3212a41a4251∣=∣1234∣∣1251∣=18\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & 1 & 2 \\ a_{41} & a_{42} & 5 & 1 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 1 \\ \end{vmatrix} = 18

范德蒙德行列式

∣111abcanbncn∣=(b−a)(c−a)(c−b)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^n & b^n & c^n \\ \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b)

从第二行之后开始，每行都是如上岗行列式中第三行的格式，结果为第二行逐级相减的积

常见的表示： ∣D∣=∣111…1x1x2x3…xnx12x22x32…xn2……………x1n−2x2n−2……xnn−2x1n−1x2n−1……xnn−1∣|D|=\begin{vmatrix} 1 & 1 &1&…&1 \\ x_1 & x_2 & x_3 &…&x_n \\ x_1^2 &x_2^2 & x_3^2&…&x_n^2 \\…&…&…&…&… \\x_1^{n-2}&x_2^{n-2}&…&…&x_n^{n-2} \\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&…&…&x_n^{n-1} \end{vmatrix}

  • 值为：∏n≥i>j≥1=(xi−xj)\displaystyle \prod_{n≥i>j≥1}=(x_i-x_j)

爪型行列式

∣a11111a20010a30100a4∣\begin{vmatrix} a_1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a_2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & a_3 & 0\\ 1 & 0 & 0 & a_4 \end{vmatrix}

image.png

爪型行列式都可以变换为上下三角或副对角线的形式，利用对角线上的元素一定可以把某一边上的元素化为0

以上面的行列式为例： ∣a1−1a2−1a3−1a40001a20010a30100a4∣\begin{vmatrix} a_1-\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3}-\frac{1}{a_4} & 0 & 0 & 0 \\ 1 & a_2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & a_3 & 0\\ 1 & 0 & 0 & a_4 \end{vmatrix}

  • 第二行、第三行、第四行分别乘以−1a2-\frac{1}{a_2}, −1a3-\frac{1}{a_3}, −1a4-\frac{1}{a_4}，后与第一行相加

  • 变换后的行列式观察得知是一个下三角形行列式，因此值为：(a1−1a2−1a3−1a4)a2a3a4(a_1-\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3}-\frac{1}{a_4})a_2a_3a_4

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