Prim算法We are all in the gutter, but some of us are looking a

题目描述

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

输入格式

第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$ 。

接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $u,v,w$ ，表示点 $u$ 和点 $v$ 之间存在一条权值为 $w$ 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

$1≤n≤10^5$ ,
$1≤m≤2∗10^5$ ,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 $1000$ 。

输入样例：

输出样例：

题目分析

这是一道求最小生成树的题目。

首先介绍最小生成树的概念：

给定一张边带权的无向图，假设这张图有 $n$ 个节点， $m$ 条边，要求在这张无向图中选择 $n-1$ 条边，使得无向图中 $n$ 个节点形成一个树，即没有环的连通图，同时要求这棵树中所有的边权值最小。

本次我们通过 prim 算法进行分析，另外还有一种算法为 kruskal 算法同样可以解决，将会在下篇文章进行展现。

prim 算法是一个关于节点的算法，首先我们任意选取一个节点作为最终树的根节点，然后以此开始拓展其所有相连的边，找到距离这个节点最近的节点并加入这棵树，然后以这个节点为下一次拓展的树根并更新其他所有节点与这棵树的最短距离，在这个过程中对最终答案的贡献为这个最短边的边权。然后依次进行拓展，每次拓展选取与这棵树中最近的一个树节点进行拓展，直到将所有节点全部拓展或者存在无法连接到这棵树的节点，并统计最终答案或者得出无法产生最小生成树的结论。

Accept代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 510;
int g[N][N], dist[N];
bool st[N];
int n, m;
int res;

bool prim()
{
    dist[1] = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]))
                t = j;
        if (dist[t] >= 1e9) return false;
        res += dist[t];
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
            dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
        st[t] = true;
    }
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    memset(g, 0x3f, sizeof g);
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    cin >> n >> m;
    while (m --)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
    }
    if (prim()) cout << res;
    else cout << "impossible";
    return 0;
}