例题： 编辑距离

如果没有接触过动态规划的话，这道题还是比较有难度的。了解过动态规划之后，按照套路进行分析即可：

(1) 定义dp数组

用dp[i][j]表示word1中以i-1为结尾的子串和word2中以j-1为结尾的子串的最小编辑距离。

这里之所以表示-1，只是为了初始化时的方便。

(2) 确定递推关系

确定递推关系时，需要分情况讨论，不失一般性，我们考虑将word1编辑为word2：

当word1[i-1] == word2[j-1]时，说明当前字符不需要进行编辑，即dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
当word1[i-1] != word2[j-1]时，说明需要进行编辑，有三种编辑方式：

• 删除word1[i-1]，即dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1;
• 给word1最后追加上word2[j-1]，这样最后一位就相同了，只需要考虑前边的了，即dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1;（或者理解为删除word2[j-1]，因为两种方式所需的操作数一致）
• 将word1[i-1]修改为word2[j-1]，即dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;

这四种情况中的最小值就是最小编辑距离。

(3) 初始化

根据dp的定义，dp[i][0]表示将word1中以i-1为结尾的子串变为空串的编辑次数，很明显是i次，所以dp[i][0] = i；同理，dp[0][j] = j。

(4) 确定递推顺序

从递推关系可以看出，dp[i][j]由dp[i-1][j-1]、dp[i-1][j]以及dp[i][j-1]得到，也就是从左上、上以及左进行递推，因此顺序为从上往下，从左往右。

public int minDistance(String word1, String word2) {
    // dp[i][j]表示word1中以i-1为结尾的子串和word2中以j-1为结尾的子串的最小编辑距离
    int[][] dp = new int[word1.length() + 1][word2.length() + 1];

    // 初始化
    for (int i = 0; i <= word1.length(); i++) {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (int j = 0; j <= word2.length(); j++) {
        dp[0][j] = j;
    }

    for (int i = 1; i <= word1.length(); i++) {
        for (int j = 1; j <= word2.length(); j++) {
            char c1 = word1.charAt(i - 1);
            char c2 = word2.charAt(j - 1);
            if (c1 == c2) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
            }
        }
    }

    return dp[word1.length()][word2.length()];
}