dp之背包问题

01背包及其优化

题意

有n个物品，在容量不超过m并且每件物品只能选择拿或者不拿，第i件物品有自己的价值w[i]与体积v[i]。

状态转移方程

f[i][j] 表示前i件物品在体积不大于j的情况下的最大价值。
（1）不选择第i件物品，f[i][j] = f[i - 1][j]，即在有i-1件物品并且容量为j的情况下的最大值。
（2）选择第i件物品，f[i][j] = f[i-1][j - v[i]] + w[i]。 所以状态转移方程 f[i][j] = max(f[i - 1][j],f[i-1][j - v[i]] + w[i]);

代码

for(int i = 1;i<=n;i++){
    for(int j = 1;j <= m;j++){
        f[i][j] = f[i-1][j];
        if(v[i] <= j){
            f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]] + w[i]);
        }
    }
}

复杂度O(n × m)

优化

f数组一维降二维

为什么可以将二维降到一维呢？因为我们只关心在每个物品选或者不选的情况下容积为m时的最大价值，并不在意你具体选了多少物品。
先上代码

int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    //二维到一维优化，
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        for(int j = m;j >=v[i];j--){
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    //为什么f[m]就是容积<m的情况下的最大价值
    cout<<f[m];
    return 0;
}

在降到一维之后，f[j]代表容积为j时的最大价值。

需要注意的问题

1、注意上述代码的第9行，for循环中是降序进行循环的，在二维中我们知道f[i][j] 是依赖于 f[i-1][j]的，在一维中一样如此，在降维过程中，我们只是简单的把f[i][j]中的i简单的抹除掉了，再来看上述问题，如果正序循环，在第i轮循环应该使用f[i-1][j]进行更新，但因为正序循环此时使用的是f[i][j]进行更新，举个例子，若第i轮对体积为3的物体进行决策，一维中，f[6] = f[4]，但因为从小到大更新，本应该为f[i-1][4]变为了f[i][4],如果是逆序遍历，计算f[6]时f[4]还没在当前这一轮被计算，f[4]取f[i-1][4]。
2、为什么f[m]就是容积为m的前提下的最大价值。 先给出结论：当f[n]初始化全为0时，f[m]代表容积<=m时的最大价值；仅当f[0]初始化为0，其他为-inf时，f[m]代 表体积恰好是j的最大值。
这里我们可以反向思考，当f[m]表示容积<=m时的最大价值，dp的边界是f[0][j]表示在容积为j时选择0件物品的最大值，这么选择是合法的，但如果要这么选必须将f[0][j]初始化为0，因为咱们一件物品也没有选。当f[m]表示恰好代表容积为j时的最大值，此时f[0][j]表示容积为j并且一件也没选时的最大值，那么只有当j==0时有合法方案，所以f[0][0] = 0，其他为-inf。

完全背包

相比于01背包，完全背包要求每件物品可以选择无限次。

根据上图状态方程可得知（3）式即为完全背包的状态转移方程。与01背包中的状态转移方程比较一下
f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]] + w[i]) //01
f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]] + w[i]) //完全
可以看出只有下标i不同，此下表代表是否是当前轮次的值，所以完全背包问题可以去掉在01背包问题中逆向循环的操作，从而改为正序循环。

//written by 2023/6/13
#include<iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;

int v[N],w[N];
int f[N];
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 0;i < n;i++){
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    
    for(int i = 0;i < n;i++){
        for(int j = v[i];j <= m;j++){
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<f[m];
    return 0;
}

多重背包

多重背包要求物品共有有限件，即最多选s件。

方法一

可以将物品i共有s件看为有s件物品i，这s件物品可选可不选，就可以看成01背包问题。
代码就不放啦

方法二

二进制优化，即无论s为多少都可以由1、2、4、8....与s-(1+2+4+8+...)组成，那么即可根据每件物品的数量来求出这样一个数组，该数组中的元素组合可以表示任何<=s的值。

#include<iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2010;

struct Good{
    int v,w;
};

int f[N];
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    vector<Good> Goods;
    for(int i = 0;i < n;i++){
        int v,w,s;
        cin>>v>>w>>s;
        for(int k = 1;k <= s;k = k * 2){
            s -= k;
            Goods.push_back({k * v,k * w});
        }
        if(s > 0) Goods.push_back({s * v,s * w});
    }
    
    for(auto good : Goods){
        for(int j = m;j >= good.v;j--){
            f[j] = max(f[j],f[j - good.v] + good.w);
        }
    }
    cout<<f[m];
    return 0;
}

分组背包

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是v[i][j]价值是w[i][j]，其中i是组号，j是组内编号。
分组背包没有什么好的优化方法，解法即是在01背包基础上，在选择物品时在所在的分组中选择一个，多加了层循环。同时也保证了每个分组中只选择了一个，即对于f[j]要选择物品时在目前所在分组中选择一个物品使f[j]最大。

#include<iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 110;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 0;i < n;i++){
        int s;
        cin>>s;
        for(int j = 1;j <= s;j++) cin>>v[j]>>w[j];
        for(int j = m;j >= 0;j--){
            for(int k = 1;k <= s;k++)
                if(j >= v[k])
                    f[j] = max(f[j],f[j - v[k]] + w[k]);
        }
    }
    cout<<f[m];;
    return 0;
}

写在最后，上述只是作者自己的一些理解，如有错误之处，还希望大家都多指出。