算法技巧之前缀和+哈希表

1. 前缀和是什么

对于一个数组$nums$，若其前缀和数组为$preSum$，则有：

$preSum[i] = \sum^{i}_{x=0}{nums[x]} = preSum[i - 1] + nums[i]$。

由前缀和特点，我们可以推导：

$\sum^{j}_{x=i}{nums[x]} = preSum[j] - preSum[i-1]$，

特殊的一点是：

$\sum^{j}_{x=0}{nums[x]} = preSum[j]$，

利用前缀和，可以快速解决一下连续区间计算问题，而再配上哈希表，则有希望进一步降低时间复杂度。

2. 小实牛刀

题目描述：

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k ，请你统计并返回 该数组中和为 k 的连续子数组的个数。

见LeetCode 560

如果使用模拟法，也就是挨个计算数组中不同区间中数字之和，统计和为 k的数量，则时间复杂度为$O(n^2)$。

下面我们尝试使用前缀和来优化，根据题目，我们需要找出数组中和为 k 的连续子数组，即：

$\sum^{j}_{x=i}{nums[x]} = k$，

我们使用前缀和来进一步替换：

$\sum^{j}_{x=i}{nums[x]} = preSum[j] - preSum[i-1] = k$，

也就是说，前缀和数组中，后项减前项差值为k的各组符合题意，那么我们可以首先计算前缀和数组，然后依次求其中两项差值，差为k的个数，即为题解。这种遍历算法很常见，其时间复杂度为仍为$O(n^2)$，与原算法相比，虽然使用前缀和避免了频繁的累加，但是时间复杂度仍然没有量级上的变化。

我们进一步思考，既然题目仅统计个数，那我们可以先把前缀和不同值的个数统计出来，然后找出他们差值为k的一组，就能直接计算出计算出个数，避免遍历。存储值的数量，容易想到哈希表。需要注意的是，差为k，必须是后项减前项，那我们可以一边计算前缀和，一边统计数量，避免后面的前缀和前介入运算。至此，算法轮廓基本完成，伪代码如下：

for (int num : nums) {
    计算到当前项的前缀和
    根据当前前缀和，查表找出满足差为k的前缀和数量，总数量累加该数量
    更新哈希表，将当前前缀和存入
}
返回总数量

需要注意的是，每一项自身也算一个区间，例如[i,i]，因此为了能计算到自身这种区间，哈希表默认需要存入（0，1）的一项。

具体代码实现如下：

public int subarraySum(int[] nums, int k) {
    int result = 0;
    int preSum = 0;
    Map<Integer, Integer> cache = new HashMap<>();
    cache.put(0, 1);
    for (int num : nums) {
        preSum += num;
        result += cache.getOrDefault(preSum - k, 0);
        cache.compute(preSum, new BiFunction<Integer, Integer, Integer>() {
            @Override
            public Integer apply(Integer k, Integer v) {
                return null == v ? 1 : v + 1;
            }
        });
    }
    return result;
}

3. 总结

若题目中出现子数组，并给出连续子数组和限制条件，以求解，或有其他可分解成该类问题的其他条件，则应考虑前缀和，如果题目中仅要求统计数量，可使用哈希表进行优化。

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